Calcule a área das regiões determinadas por:
e o eixo dos
.
Passo 1
Resumo da questão e conteúdo: queremos calcular a área sob a curva y =
acima do eixo x. Isso é um integral impróprio de uma função racional, que vamos resolver usando simetria, fatoração do polinômio, frações parciais e integrais que resultam em arctan.
Passo 2
Usar simetria da função: como
é par, temos
$$
A_{total}=\int_{-\infty}{\infty}\frac{dx}{x4+1}=2\int_{0}{\infty}\frac{dx}{x4+1}
I=\int_{0}{\infty}\frac{dx}{x4+1}.
$$
Passo 3
Fatorar o denominador em quadráticos irreduzíveis:
Passo 4
Fazer decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
e igualando coeficientes, encontramos A, B, C e D.
Passo 5
Determinar coeficientes (resumido):
Após igualar coeficientes obtemos
Após igualar coeficientes obtemos
Assim
Passo 6
Calcular
dividindo em dois integrandos e completando o quadrado em cada denominador:
Para o termo , usamos substituição e reconhecemos integral do tipo arctan. O mesmo vale para o outro termo.
O cálculo leva a
Para o termo
O cálculo leva a
Passo 7
Concluir as áreas das regiões:
Como , a área da região para
é
, e por simetria a mesma para
.
Como
Passo 8
Calcular área total:
Resposta
Área de cada região (x≥0 ou x≤0):
. Área total entre -∞ e ∞:
.