Calcule a área das regiões determinadas por:
y=1x^4+1 e o eixo dos x.

Passo 1

Resumo da questão e conteúdo: queremos calcular a área sob a curva y = 1/(x^4+1) acima do eixo x. Isso é um integral impróprio de uma função racional, que vamos resolver usando simetria, fatoração do polinômio, frações parciais e integrais que resultam em arctan.

Passo 2

Usar simetria da função: como x^4+1 é par, temos
$$
A_{total}=\int_{-\infty}{\infty}\frac{dx}{x4+1}=2\int_{0}{\infty}\frac{dx}{x4+1} Atotal=integral-infty^inftydxx^4+1=2integral0^inftydxx^4+1
I=\int_{0}{\infty}\frac{dx}{x4+1}.
$$

Passo 3

Fatorar o denominador em quadráticos irreduzíveis:
x^4+1=(x^2+raiz2,x+1)(x^2-raiz2,x+1)

Passo 4

Fazer decomposição em frações parciais:
1x^4+1=Ax+Bx^2+raiz2,x+1+Cx+Dx^2-raiz2,x+1
Multiplicando ambos os lados por x^4+1 e igualando coeficientes, encontramos A, B, C e D.

Passo 5

Determinar coeficientes (resumido):
Após igualar coeficientes obtemos
A=tfrac12raiz2, B=tfrac12, C=-tfrac12raiz2, D=tfrac12
Assim
1x^4+1=tfrac12raiz2x+tfrac12x^2+raiz2x+1+-tfrac12raiz2x+tfrac12x^2-raiz2x+1

Passo 6

Calcular I dividindo em dois integrandos e completando o quadrado em cada denominador:
Para o termo x^2+raiz2x+1=(x+1/raiz2)^2+1/2, usamos substituição e reconhecemos integral do tipo arctan. O mesmo vale para o outro termo.
O cálculo leva a
I=integral0^inftydxx^4+1=pi2raiz2

Passo 7

Concluir as áreas das regiões:
Como I=pi/(2raiz2), a área da região para x>=0 é pi/(2raiz2), e por simetria a mesma para x<=0.

Passo 8

Calcular área total:
Atotal=2I=2cdotpi2raiz2=piraiz2

Resposta

Área de cada região (x≥0 ou x≤0): dfracpi2raiz2. Área total entre -∞ e ∞: dfracpiraiz2.

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