Seja f(x, y, z) de classe C^2 e seja (x0, y0, z0) um ponto interior do domínio de f. Suponhamos que (x0, y0, z0) seja ponto crítico de f.
Estude com relação a máximos e mínimos locais a função:
(II) f(x, y, z)=x^3+2 x y+y^2+z^2-5 x-4 z

Passo 1

O enunciado pede pra gente estudar os pontos críticos de segunda ordem da função f(x,y,z)=x3+2xy+y2+z^2−5x−4z e determinar se eles são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela. Isso envolve cálculo de derivadas parciais e uso do teste da matriz Hessiana (segunda derivada).

Passo 2

Vamos calcular o gradiente ∇f e resolver ∇f=0. As derivadas parciais são:
f_x=3x^2+2y−5,
f_y=2x+2y,
f_z=2z−4.
Igualando a zero:
f_z=0 ⇒ 2z−4=0 ⇒ z=2,
f_y=0 ⇒ 2x+2y=0 ⇒ y=−x,
f_x=0 ⇒ 3x^2+2y−5=0 ⇒ 3x^2+2(−x)−5=0 ⇒ 3x^2−2x−5=0. Resolvendo:
x=(2±√(4+60))/6=(2±8)/6 ⇒ x_1=5/3 e x_2=−1.
Então temos dois pontos críticos:
(x,y,z)=(5/3,−5/3,2) e (−1,1,2).

Passo 3

Montamos a matriz Hessiana D^2f com as segundas derivadas:
D^2f(x,y,z)= 6x & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Esse é o que vamos usar no teste de Sylvester (menores principais).

Passo 4

Avaliamos a Hessiana em (−1,1,2):
D^2f(−1,1,2)= −6 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Calculamos os menores principais:
D1=−6<0,
D2=det −6 & 22 & 2=−12−4=−16<0,
D3=det Hessiana=−16⋅2=−32<0.
Como os sinais não seguem o padrão de definida positiva nem definida negativa, dá indefinido → ponto de sela.

Passo 5

Avaliamos a Hessiana em (5/3,−5/3,2):
D^2f(5/3,−5/3,2)= 10 & 2 & 0 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2
Menores principais:
D1=10>0,
D2=det 10 & 22 & 2=20−4=16>0,
D3=det Hessiana=16⋅2=32>0.
Todos positivos ⇒ Hessiana definida positiva ⇒ mínimo local.

Resposta

O ponto (−1,1,2) é ponto de sela e o ponto (5/3,−5/3,2) é mínimo local.

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