Determine o seguinte limite:
lim x 0 raizx^2 y-7 y-3y^5+8 x+2
y 0

Passo 1

O enunciado pede o limite duplo, quando (x,y)to(0,0), da função
raizx^2y-7y-3y^5+8x+2
Aqui vamos usar a ideia de que, se uma função é contínua num ponto de seu domínio, o limite pode ser obtido simplesmente substituindo as variáveis pelos valores do ponto.

Passo 2

Analisamos primeiro o numerador
x^2y - 7y - 3
Quando (x,y)to(0,0), temos x^2yto0 e -7yto0, logo
x^2y - 7y - 3 ;longrightarrow; -3

Passo 3

Agora o denominador
y^5 + 8x + 2
Quando (x,y)to(0,0), temos y^5to0 e 8xto0, logo
y^5 + 8x + 2 ;longrightarrow; 2

Passo 4

Assim, o quociente dentro da raiz tende a
x^2y - 7y - 3y^5 + 8x + 2 ;longrightarrow; -32
Como a função tmapstoraiz,t, é contínua (considerando extensão ao plano complexo), o limite da composição é
raiz-32

Resposta

lim(x,y)to(0,0) raizx^2y-7y-3y^5+8x+2 ;=; raiz-32

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