Nosso objetivo, neste exercício, é encontrar os valores de x que minimizam o comprimento do segmento vertical A B, em que A=(x, 16 x^2) e B=(x, -1x^2).
Justifique porque a função a ser minimizada é dada por
f(x)=16 x^4+1x^2

Passo 1

O enunciado pede pra encontrar os valores de x que minimizam o comprimento do segmento vertical AB, onde
A=(x,16x^2) e B=(x,-1/x^2). Isso envolve usar o conceito de distância vertical entre dois pontos que têm a mesma abscissa.

Passo 2

Como as abscissas de A e B são iguais (ambas =x), o comprimento do segmento vertical AB é dado pela diferença das ordenadas:
$$AB=|y_A-y_B|=\bigl|16x2-(-1/x2)\bigr|=16x2+\frac1{x2}.
$$

Passo 3

Para escrever essa soma como uma única fração, colocamos sobre o mesmo denominador x^2:
$$16x2+\frac1{x2}=\frac{16x4}{x2}+\frac1{x2}=\frac{16x4+1}{x^2}.
$$

Passo 4

Portanto, a função que mede o comprimento de AB em função de x é
f(x)=16x^4+1x^2,
que é justamente a expressão a ser minimizada.

Resposta

f(x)=\frac{16x4+1}{x2}

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