Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
5.
y=1-x^{2}, \quad y=-3

Passo 1

O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas y=1-x^{2} e y=-3.
Informações dadas:
  • Uma parábola y=1-x^{2}.
  • Uma reta horizontal y=-3.
  • Queremos a área da(s) região(ões) onde essas duas curvas formam contorno fechado (isto é, a região entre elas).

Passo 2

Determinar os pontos de interseção entre as duas curvas — são os limites horizontais da região. Igualamos as expressões de y:
1-x^{2} = -3.
Resolver para x:
1 - x^{2} = -3 \Rightarrow -x^{2} = -4 \Rightarrow x^{2} = 4 \Rightarrow x=\pm 2.
Portanto as curvas se cruzam em x=-2 e x=2.

Passo 3

Identificar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo entre as interseções. Para qualquer x entre -2 e 2 a parábola vale
y_{\text{parábola}} = 1-x^{2}.á
A reta tem y_{\text{reta}}=-3. Como 1-x^{2}\ge -3 entre -2 e 2 (por exemplo em x=0 temos 1-0=1>-3), a parábola é a função de cima (top) e a reta é a de baixo (bottom).

Passo 4

Fórmula da área entre duas curvas (explicação didática): se temos duas funções y_{\text{top}}(x) e y_{\text{bottom}}(x) contínuas num intervalo [a,b], a área entre elas é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(y_{\text{top}}(x)-y_{\text{bottom}}(x)\bigr)\,dx.Á
Aqui y_{\text{top}}(x)=1-x^{2}, y_{\text{bottom}}(x)=-3, e [a,b]=[-2,2]. Então montamos o integral:
\text{Área}=\int_{-2}^{2}\bigl((1-x^{2})-(-3)\bigr)\,dx=\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx.Á

Passo 5

Observação de simetria (ajuda a calcular mais rápido): a função integranda 4-x^{2} é par (isto é, (4-(-x)^{2})=4-x^{2}), logo
\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx = 2\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx.
Agora calculamos o integral indefinido; integrar polinômios é somar integrais termo a termo:
\int(4-x^{2})\,dx = \int 4\,dx - \int x^{2}\,dx = 4x - \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida).

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites 0 e 2:
\int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx = \left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \left(4\cdot 2 - \frac{2^{3}}{3}\right) - \left(4\cdot 0 - \frac{0^{3}}{3}\right).
Calcular passo a passo:
4\cdot 2 = 8,\qquad \frac{2^{3}}{3}=\frac{8}{3},
logo
\left[4x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{24}{3}-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}.
Pela simetria multiplicamos por 2:
\text{Área}=2\cdot \frac{16}{3}=\frac{32}{3}.Á

Resposta

\displaystyle \frac{32}{3}

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