Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas dadas
5.
5.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Uma parábola
. - Uma reta horizontal
. - Queremos a área da(s) região(ões) onde essas duas curvas formam contorno fechado (isto é, a região entre elas).
Passo 2
Determinar os pontos de interseção entre as duas curvas — são os limites horizontais da região. Igualamos as expressões de
:
Resolver para
:
Portanto as curvas se cruzam em
e
.
Passo 3
Identificar qual curva está acima (top) e qual está abaixo (bottom) no intervalo entre as interseções. Para qualquer
entre
e
a parábola vale
A reta tem
. Como
entre
e
(por exemplo em
temos
), a parábola é a função de cima (top) e a reta é a de baixo (bottom).
Passo 4
Fórmula da área entre duas curvas (explicação didática): se temos duas funções
e
contínuas num intervalo
, a área entre elas é
Aqui
,
, e
. Então montamos o integral:
Passo 5
Observação de simetria (ajuda a calcular mais rápido): a função integranda
é par (isto é,
), logo
Agora calculamos o integral indefinido; integrar polinômios é somar integrais termo a termo:
onde
é a constante de integração (não precisamos dela para integral definida).
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Calcular passo a passo:
logo
Pela simetria multiplicamos por
: