Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
x=y^{3}-4 y, \quad x=y^{2}-4;

Passo 1

O enunciado pede: calcular a(s) área(s) das regiões limitadas pelas curvas
x = y^{3} - 4y,\qquad x = y^{2} - 4.
Informações fornecidas relevantes:
  • As duas curvas estão dadas na forma x= função de y, ou seja, é natural integrar em relação a y.
  • As regiões limitadas aparecem entre os pontos de interseção dessas duas curvas (onde y^{3}-4y = y^{2}-4).
    O objetivo é encontrar essas interseções e calcular a(s) área(s) das região(ões) fechadas entre as curvas usando integrais em y.

Passo 2

Encontremos os pontos de interseção resolvendo a equação
y^{3}-4y = y^{2}-4.
Colocando tudo num lado:
y^{3}-y^{2}-4y+4=0.
Observando, fatoramos por agrupamento:
y^{3}-y^{2}-4y+4 = (y^{3}-y^{2})+(-4y+4) = y^{2}(y-1)-4(y-1)=(y-1)(y^{2}-4).
E mais:
y^{2}-4=(y-2)(y+2).
Logo a fatoração completa é
y^{3}-y^{2}-4y+4=(y-1)(y-2)(y+2).
As raízes (valores de y onde as curvas se cruzam) são, portanto,
y=-2,\quad y=1,\quad y=2.
Agora determinamos as coordenadas x correspondentes usando, por exemplo, x=y^{2}-4:
  • Para y=-2: x=(-2)^{2}-4=4-4=0. Ponto (0,-2).
  • Para y=1: x=1^{2}-4=1-4=-3. Ponto (-3,1).
  • Para y=2: x=2^{2}-4=4-4=0. Ponto (0,2).

Passo 3

Decidir qual curva é a “direita” e qual é a “esquerda” em cada intervalo de y (entre as interseções) — isso diz qual função subtrair na integral de área.
Considere a diferença
\Delta(y) = \bigl(x_{\text{parábola}}\bigr)-\bigl(x_{\text{cúbica}}\bigr) = \bigl(y^{2}-4\bigr)-\bigl(y^{3}-4y\bigr).áú
Simplificando:
\Delta(y) = -\bigl(y^{3}-y^{2}-4y+4\bigr) = - (y-1)(y-2)(y+2).
Os zeros de \Delta(y) são y=-2,1,2. Analisando o sinal em cada intervalo:
  • Para y<-2: (y-1)(y-2)(y+2)<0 (produto negativo), então \Delta(y)=-(\text{negativo})>0. Assim, na faixa y<-2 a parábola x=y^{2}-4 está à direita da cúbica.
  • Para -2<y<1: (y-1)(y-2)(y+2)>0 (produto positivo), então \Delta(y)<0. Logo, nessa faixa a cúbica x=y^{3}-4y está à direita da parábola.
  • Para 1<y<2: (y-1)(y-2)(y+2)<0, então \Delta(y)>0. Logo, nessa faixa a parábola está à direita.
  • Para y>2: \Delta(y)<0 e a cúbica está à direita (mas nessas regiões não há fecho com as interseções dadas).
As interseções em y=-2,1,2 delimitam duas faixas entre as quais as curvas se cruzam criando regiões limitadas:
  • Região A: entre y=-2 e y=1, onde a cúbica é a função à direita.
  • Região B: entre y=1 e y=2, onde a parábola é a função à direita.
Portanto devemos calcular duas integrais em y, uma em cada intervalo.

Passo 4

Escrever a fórmula da área entre duas curvas quando são dadas como x=x_1(y) (à direita) e x=x_2(y) (à esquerda):
\text{Área}=\int_{y_{a}}^{y_{b}}\bigl(x_{\text{direita}}(y)-x_{\text{esquerda}}(y)\bigr)\,dy.Á
Montamos as integrais para cada região.
Região A (entre y=-2 e y=1): cúbica à direita, parábola à esquerda, então a integranda é
(x_{\text{cúbica}}-x_{\text{parábola}})(y) = \bigl(y^{3}-4y\bigr)-\bigl(y^{2}-4\bigr) = y^{3}-y^{2}-4y+4.úá
Calcule a área A_{1}:
A_{1}=\int_{-2}^{1}\bigl(y^{3}-y^{2}-4y+4\bigr)\,dy.
Integramos termo a termo. Uma primitiva é
F(y)=\frac{y^{4}}{4}-\frac{y^{3}}{3}-2y^{2}+4y.
Avaliação:
F(1)=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}-2+4=\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+2=\frac{23}{12}.
F(-2)=\frac{(-2)^{4}}{4}-\frac{(-2)^{3}}{3}-2(-2)^{2}+4(-2) =4+\frac{8}{3}-8-8=-\frac{28}{3}.
Então
A_{1}=F(1)-F(-2)=\frac{23}{12}-\Bigl(-\frac{28}{3}\Bigr) =\frac{23}{12}+\frac{112}{12}=\frac{135}{12}=\frac{45}{4. }
Região B (entre y=1 e y=2): parábola à direita, cúbica à esquerda, integranda
(x_{\text{parábola}}-x_{\text{cúbica}})(y)= -\bigl(y^{3}-y^{2}-4y+4\bigr).áú
Calcule a área A_{2}:
A_{2}=\int_{1}^{2}\bigl(-y^{3}+y^{2}+4y-4\bigr)\,dy = -\int_{1}^{2}\bigl(y^{3}-y^{2}-4y+4\bigr)\,dy.
Usamos a mesma primitiva F(y) acima; então
A_{2} = -\bigl(F(2)-F(1)\bigr)=F(1)-F(2).
Já temos F(1)=\dfrac{23}{12}. Calcule F(2):
F(2)=\frac{2^{4}}{4}-\frac{2^{3}}{3}-2\cdot 2^{2}+4\cdot 2 =4-\frac{8}{3}-8+8=4-\frac{8}{3}=\frac{4}{3}.
Então
A_{2}= \frac{23}{12}-\frac{4}{3}=\frac{23}{12}-\frac{16}{12}=\frac{7}{12}.

Passo 5

Interpretação final:
  • Há duas regiões limitadas pelos dois arcos das curvas: uma grande entre y=-2 e y=1 (área A_{1}) e uma pequena entre y=1 e y=2 (área A_{2}).
  • Se for pedido o total da área das regiões limitadas (a soma das duas), soma-se A_{1}+A_{2}.

Resposta

Área da região entre y=-2 e y=1: \dfrac{45}{4}
Área da região entre y=1 e y=2: \dfrac{7}{12}
Área total (soma): \dfrac{71}{6}

Exercícios relacionados