Calcule a área das regiões limitadas pelas curvas indicadas:
;
Passo 1
O enunciado pede: calcular a(s) área(s) das regiões limitadas pelas curvas
Informações fornecidas relevantes:
- As duas curvas estão dadas na forma
função de , ou seja, é natural integrar em relação a . - As regiões limitadas aparecem entre os pontos de interseção dessas duas curvas (onde
).
O objetivo é encontrar essas interseções e calcular a(s) área(s) das região(ões) fechadas entre as curvas usando integrais em.
Passo 2
Encontremos os pontos de interseção resolvendo a equação
Colocando tudo num lado:
Observando, fatoramos por agrupamento:
E mais:
Logo a fatoração completa é
As raízes (valores de
onde as curvas se cruzam) são, portanto,
Agora determinamos as coordenadas
correspondentes usando, por exemplo,
:
- Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto . - Para
: . Ponto .
Passo 3
Decidir qual curva é a “direita” e qual é a “esquerda” em cada intervalo de
(entre as interseções) — isso diz qual função subtrair na integral de área.
Considere a diferença
Simplificando:
Os zeros de
são
. Analisando o sinal em cada intervalo:
- Para
: (produto negativo), então . Assim, na faixa a parábola está à direita da cúbica. - Para
: (produto positivo), então . Logo, nessa faixa a cúbica está à direita da parábola. - Para
: , então . Logo, nessa faixa a parábola está à direita. - Para
: e a cúbica está à direita (mas nessas regiões não há fecho com as interseções dadas).
As interseções em
delimitam duas faixas entre as quais as curvas se cruzam criando regiões limitadas:
- Região A: entre
e , onde a cúbica é a função à direita. - Região B: entre
e , onde a parábola é a função à direita.
Portanto devemos calcular duas integrais em
, uma em cada intervalo.
Passo 4
Escrever a fórmula da área entre duas curvas quando são dadas como
(à direita) e
(à esquerda):
Montamos as integrais para cada região.
Região A (entre
e
): cúbica à direita, parábola à esquerda, então a integranda é
Calcule a área
:
Integramos termo a termo. Uma primitiva é
Avaliação:
Então
Região B (entre
e
): parábola à direita, cúbica à esquerda, integranda
Calcule a área
:
Usamos a mesma primitiva
acima; então
Já temos
. Calcule
:
Então
Passo 5
Interpretação final:
- Há duas regiões limitadas pelos dois arcos das curvas: uma grande entre
e (área ) e uma pequena entre e (área ). - Se for pedido o total da área das regiões limitadas (a soma das duas), soma-se
.
Resposta
Área da região entre
e
:
Área da região entre
e
:
Área total (soma):