Classifique os pontos críticos das funções em
a seguir:
1.
1.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre e classifique os pontos críticos da função
dada por
Informações/objetivos extraídos do enunciado:
- Calcular todos os pontos críticos, ou seja, todos os pontos
onde o gradiente . - Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Quando a classificação com a matriz Hessiana for inconclusiva, fazer uma análise de ordem superior para decidir.
- Os dados fornecidos são apenas a expressão de
; não há imagens nem restrições adicionais.
Passo 2
Vou calcular as derivadas parciais e montar o sistema
.
Derivadas parciais:
O sistema
é
Vou resolver esse sistema por casos.
Passo 3
Resolver o sistema: casos possíveis das duas equações.
Da primeira equação existem duas possibilidades:
A) .
B) , ou seja
.
A)
B)
Da segunda equação existem duas possibilidades:
-
. -
, ou seja .
Combino os casos:
- Caso A (
): inserir em segunda equação dá . Logo um ponto crítico é
-
Caso B com opção 1 da segunda equação (
): se então e a equação dá . Isso já é o ponto acima. -
Caso B com opção 2 da segunda equação (
e simultaneamente).
Da segunda temos
. Substituindo em
obtemos
Se
voltamos ao ponto
. Se
podemos dividir por
e obter
Logo
. Então
Portanto
. Esses dois pontos são críticos distintos:
Resumo dos pontos críticos encontrados:
Passo 4
Agora vou calcular a matriz Hessiana
e avaliar em cada ponto para tentar classificar.
Derivadas segundas:
Então a Hessiana é
Vou avaliar em cada ponto crítico.]
Passo 5
Avaliação em
.
Substituindo
nas segundas derivadas:
A Hessiana em
é a matriz nula; o teste de segunda derivada é inconclusivo (determinante
). Preciso então analisar termos de ordem superior ou o sinal de
em direções distintas para decidir o tipo.
Analise de sinais perto de
:
- Ao longo do eixo
temos , ou seja, para pontos com e pequeno, é não-negativa (e positiva quando ). - Ao longo do eixo
temos . Para pequeno, , ou seja, é negativo próximo ao ponto quando é negativo pequeno.
Como existem direções nas quais
assume valores positivos arbitrariamente próximos de
(por exemplo
pequeno) e outras direções nas quais
assume valores negativos arbitrariamente próximos (por exemplo
pequeno), isso mostra que
é um ponto de sela (o valor de
muda de sinal arbitrariamente perto do ponto).
Conclusão parcial:
é um ponto de sela (degenerado, já que a Hessiana ali é nula).
Passo 6
Avaliação nos pontos
.
Denoto
e
. Calculo as entradas da Hessiana em termos dessas quantidades.
Primeiro
Depois
Calculo o segundo termo:
Então
E a entrada mista:
Note que o sinal desta entrada muda com o sinal de
, mas na determinação do tipo precisamos do determinante da Hessiana:
Substituo os valores numéricos já obtidos:
Use
. Calculo cada termo:
Colocando com denominador comum
:
Portanto
Como o determinante da Hessiana é negativo, os autovalores da Hessiana têm sinais opostos, o que caracteriza um ponto de sela não degenerado. Isso vale tanto para
quanto para
(o sinal de
só muda a entrada mista, mas o determinante continua negativo). Logo ambos os pontos são pontos de sela.
Passo 7
Conclusões finais (resumo das classificações):
-
é ponto de sela degenerado (Hessiana nula; f assume sinais positivos e negativos próximos). -
são pontos de sela não degenerados (Hessiana com determinante negativo).