Classifique os pontos críticos das funções em \mathbb{R}^{2} a seguir:
1.
f(x, y)=x^{4}+y^{5}-x^{2} y^{3}

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre e classifique os pontos críticos da função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} dada por
f(x,y)=x^{4}+y^{5}-x^{2}y^{3}.
Informações/objetivos extraídos do enunciado:
  • Calcular todos os pontos críticos, ou seja, todos os pontos (x,y) onde o gradiente \nabla f(x,y)=\mathbf{0}.
  • Classificar cada ponto crítico como mínimo local, máximo local ou ponto de sela. Quando a classificação com a matriz Hessiana for inconclusiva, fazer uma análise de ordem superior para decidir.
  • Os dados fornecidos são apenas a expressão de f; não há imagens nem restrições adicionais.

Passo 2

Vou calcular as derivadas parciais e montar o sistema \nabla f=\mathbf{0}.
Derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=4x^{3}-2x y^{3}=2x\bigl(2x^{2}-y^{3}\bigr),
\frac{\partial f}{\partial y}=5y^{4}-3x^{2}y^{2}=y^{2}\bigl(5y^{2}-3x^{2}\bigr).
O sistema \nabla f=\mathbf{0} é
2x\bigl(2x^{2}-y^{3}\bigr)=0, \qquad y^{2}\bigl(5y^{2}-3x^{2}\bigr)=0.
Vou resolver esse sistema por casos.

Passo 3

Resolver o sistema: casos possíveis das duas equações.
Da primeira equação existem duas possibilidades:
A) x=0.
B) 2x^{2}-y^{3}=0, ou seja \;y^{3}=2x^{2}.
Da segunda equação existem duas possibilidades:
  1. y=0.
  2. 5y^{2}-3x^{2}=0, ou seja \;y^{2}=\dfrac{3}{5}x^{2}.
Combino os casos:
  • Caso A ( x=0 ): inserir em segunda equação y^{2}(5y^{2}-0)=0 y=0. Logo um ponto crítico é
(0,0).
  • Caso B com opção 1 da segunda equação ( y=0 ): se y=0 então y^{3}=0 e a equação y^{3}=2x^{2} 0=2x^{2}\Rightarrow x=0. Isso já é o ponto (0,0) acima.
  • Caso B com opção 2 da segunda equação ( y^{2}=\dfrac{3}{5}x^{2} e y^{3}=2x^{2} simultaneamente).
Da segunda temos x^{2}=\dfrac{5}{3}y^{2}. Substituindo em y^{3}=2x^{2} obtemos
y^{3}=2\cdot\frac{5}{3}y^{2} \quad\Rightarrow\quad y^{3}=\frac{10}{3}y^{2}.
Se y=0 voltamos ao ponto (0,0). Se y\neq0 podemos dividir por y^{2} e obter
y=\frac{10}{3}.
Logo y=\dfrac{10}{3}. Então
x^{2}=\frac{5}{3}y^{2}=\frac{5}{3}\left(\frac{10}{3}\right)^{2} =\frac{5}{3}\cdot\frac{100}{9}=\frac{500}{27}.
Portanto x=\pm\sqrt{\dfrac{500}{27}}. Esses dois pontos são críticos distintos:
\left(\pm\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\frac{10}{3}\right).
Resumo dos pontos críticos encontrados:
(0,0),\qquad \left(\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\frac{10}{3}\right),\qquad \left(-\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\frac{10}{3}\right).

Passo 4

Agora vou calcular a matriz Hessiana H_f e avaliar em cada ponto para tentar classificar.
Derivadas segundas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}=12x^{2}-2y^{3},
\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}=20y^{3}-6x^{2}y,
\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}=-6x y^{2}.
Então a Hessiana é
H_f(x,y)= \begin{pmatrix} 12x^{2}-2y^{3} & -6x y^{2} \\[4pt] -6x y^{2} & 20y^{3}-6x^{2}y \end{pmatrix}.
Vou avaliar em cada ponto crítico.]

Passo 5

Avaliação em (0,0).
Substituindo x=0,y=0 nas segundas derivadas:
\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}(0,0)=0, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}(0,0)=0, \qquad \frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}(0,0)=0.
A Hessiana em (0,0) é a matriz nula; o teste de segunda derivada é inconclusivo (determinante =0). Preciso então analisar termos de ordem superior ou o sinal de f em direções distintas para decidir o tipo.
Analise de sinais perto de (0,0):
  • Ao longo do eixo y=0 temos f(x,0)=x^{4}\ge 0, ou seja, para pontos com y=0 e x pequeno, f é não-negativa (e positiva quando x\neq0).
  • Ao longo do eixo x=0 temos f(0,y)=y^{5}. Para y<0 pequeno, y^{5}<0, ou seja, f(0,y) é negativo próximo ao ponto quando y é negativo pequeno.
Como existem direções nas quais f assume valores positivos arbitrariamente próximos de (0,0) (por exemplo y=0, x\neq0 pequeno) e outras direções nas quais f assume valores negativos arbitrariamente próximos (por exemplo x=0, y<0 pequeno), isso mostra que (0,0) é um ponto de sela (o valor de f muda de sinal arbitrariamente perto do ponto).
Conclusão parcial: (0,0) é um ponto de sela (degenerado, já que a Hessiana ali é nula).

Passo 6

Avaliação nos pontos \left(\pm\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\dfrac{10}{3}\right).
Denoto y_{0}=\dfrac{10}{3} e x_{0}^{2}=\dfrac{500}{27}. Calculo as entradas da Hessiana em termos dessas quantidades.
Primeiro
12x_{0}^{2}-2y_{0}^{3}=12\cdot\frac{500}{27}-2\cdot\frac{1000}{27} =\frac{6000}{27}-\frac{2000}{27}=\frac{4000}{27}>0.
Depois
20y_{0}^{3}-6x_{0}^{2}y_{0}=20\cdot\frac{1000}{27}-6\cdot\frac{500}{27}\cdot\frac{10}{3}.
Calculo o segundo termo:
6\cdot\frac{500}{27}\cdot\frac{10}{3}=\frac{6\cdot500\cdot10}{27\cdot3}=\frac{30000}{81}=\frac{10000}{27}.
Então
20y_{0}^{3}-6x_{0}^{2}y_{0}=\frac{20000}{27}-\frac{10000}{27}=\frac{10000}{27}>0.
E a entrada mista:
-6x_{0}y_{0}^{2}=-6x_{0}\cdot\frac{100}{9}=-\frac{200}{3}x_{0}.
Note que o sinal desta entrada muda com o sinal de x_{0}, mas na determinação do tipo precisamos do determinante da Hessiana:
\det H_f(x_{0},y_{0})=\bigl(12x_{0}^{2}-2y_{0}^{3}\bigr)\bigl(20y_{0}^{3}-6x_{0}^{2}y_{0}\bigr)-\bigl(-6x_{0}y_{0}^{2}\bigr)^{2}.
Substituo os valores numéricos já obtidos:
\det H_f=\frac{4000}{27}\cdot\frac{10000}{27}-\left(\frac{200}{3}\right)^{2}x_{0}^{2}.
Use x_{0}^{2}=\dfrac{500}{27}. Calculo cada termo:
\frac{4000}{27}\cdot\frac{10000}{27}=\frac{40\,000\,000}{729},
\left(\frac{200}{3}\right)^{2}x_{0}^{2}=\frac{40000}{9}\cdot\frac{500}{27}=\frac{20\,000\,000}{243}.
Colocando com denominador comum 729:
\frac{20\,000\,000}{243}=\frac{60\,000\,000}{729}.
Portanto
\det H_f=\frac{40\,000\,000}{729}-\frac{60\,000\,000}{729}=-\frac{20\,000\,000}{729}<0.
Como o determinante da Hessiana é negativo, os autovalores da Hessiana têm sinais opostos, o que caracteriza um ponto de sela não degenerado. Isso vale tanto para x_{0}=+\sqrt{500/27} quanto para x_{0}=-\sqrt{500/27} (o sinal de x_{0} só muda a entrada mista, mas o determinante continua negativo). Logo ambos os pontos são pontos de sela.

Passo 7

Conclusões finais (resumo das classificações):
  • (0,0) é ponto de sela degenerado (Hessiana nula; f assume sinais positivos e negativos próximos).
  • \left(\pm\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\dfrac{10}{3}\right) são pontos de sela não degenerados (Hessiana com determinante negativo).

Resposta

(0,0) — ponto de sela (degenerado)
\left(\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\dfrac{10}{3}\right) — ponto de sela (não degenerado)
\left(-\sqrt{\dfrac{500}{27}},\;\dfrac{10}{3}\right) — ponto de sela (não degenerado)

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