Calcule a derivada direcional no ponto
e a direção
indicada.
1.
,
1.
Passo 1
O enunciado nos dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
.
O que pede:
O que pede:
- Calcular a derivada direcional de
no ponto na direção indicada por . - Escrever a direção como vetor unitário (pois a derivada direcional usa vetor unitário).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
- Gradiente: o gradiente de uma função de duas variáveis
é o vetor formado pelas derivadas parciais:
Aqui
é a taxa de variação de
em relação a
mantendo
fixo;
é análogo para
.
- Vetor unitário: dado um vetor
, o vetor unitário na sua direção é
onde
é o comprimento (norma) do vetor.
- Derivada direcional: a derivada direcional de
em na direção do vetor unitário é
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em
e o vetor unitário da direção. O produto escalar de
com
é
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
-
. -
.
Portanto, o gradiente geral é
Passo 4
Avaliar o gradiente no ponto
.
Passo 5
Normalizar o vetor de direção
.
Calcular a norma:
Calcular a norma:
Logo o vetor unitário na direção de
é
Passo 6
Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
Fazendo o produto escalar:
Passo 7
Interpretação final (rápida e útil para prova): o valor zero significa que, ao mover-se a partir de
naquela direção
, a função
não varia até primeira ordem — a direção é tangente à curva de nível de
que passa por
. Em termos geométricos, isso ocorre porque
é ortogonal ao gradiente
.