Calcule a derivada direcional no ponto P e a direção \vec{u} indicada.
1.
\quad f(x, y)=x^{2}+y^{3}, P=(1,2), \quad \vec{u}=\left(2,-\frac{1}{3}\right)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{3}, o ponto P=(1,2) e o vetor de direção \vec{u}=\left(2,-\dfrac{1}{3}\right).
O que pede:
  • Calcular a derivada direcional de f no ponto P na direção indicada por \vec{u}.
  • Escrever a direção como vetor unitário (pois a derivada direcional usa vetor unitário).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarinho).
  • Gradiente: o gradiente de uma função de duas variáveis f(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais:
\nabla f(x,y)=\left(\dfrac{\partial f}{\partial x},\; \dfrac{\partial f}{\partial y}\right).
Aqui \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f em relação a x mantendo y fixo; \dfrac{\partial f}{\partial y} é análogo para y.
  • Vetor unitário: dado um vetor \vec{v}=(v_1,v_2), o vetor unitário na sua direção é
\hat{v}=\dfrac{\vec{v}}{\|\vec{v}\|},
onde \|\vec{v}\|=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}} é o comprimento (norma) do vetor.
  • Derivada direcional: a derivada direcional de f em P na direção do vetor unitário \hat{u} é
D_{\hat{u}}f(P)=\nabla f(P)\cdot \hat{u},
ou seja, o produto escalar entre o gradiente em P e o vetor unitário da direção. O produto escalar de (a,b) com (c,d) é ac+bd.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{3}.
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=2x.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=3y^{2}.
Portanto, o gradiente geral é
\nabla f(x,y)=\left(2x,\;3y^{2}\right).

Passo 4

Avaliar o gradiente no ponto P=(1,2).
\nabla f(1,2)=\left(2\cdot 1,\;3\cdot 2^{2}\right)=\left(2,\;3\cdot 4\right)=\left(2,\;12\right).

Passo 5

Normalizar o vetor de direção \vec{u}=\left(2,-\dfrac{1}{3}\right).
Calcular a norma:
\|\vec{u}\|=\sqrt{2^{2}+\left(-\dfrac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{4+\dfrac{1}{9}}=\sqrt{\dfrac{36+1}{9}}=\sqrt{\dfrac{37}{9}}=\dfrac{\sqrt{37}}{3}.
Logo o vetor unitário na direção de \vec{u} é
\hat{u}=\dfrac{\vec{u}}{\|\vec{u}\|}=\left(\dfrac{2}{\sqrt{37}/3},\; \dfrac{-\tfrac{1}{3}}{\sqrt{37}/3}\right)=\left(\dfrac{6}{\sqrt{37}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{37}}\right).

Passo 6

Calcular a derivada direcional usando o produto escalar:
D_{\hat{u}}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot \hat{u}=(2,\,12)\cdot\left(\dfrac{6}{\sqrt{37}},\;-\dfrac{1}{\sqrt{37}}\right).
Fazendo o produto escalar:
D_{\hat{u}}f(1,2)=\dfrac{1}{\sqrt{37}}\big(2\cdot 6 + 12\cdot(-1)\big)=\dfrac{1}{\sqrt{37}}\big(12-12\big)=\dfrac{0}{\sqrt{37}}=0.

Passo 7

Interpretação final (rápida e útil para prova): o valor zero significa que, ao mover-se a partir de P naquela direção \vec{u}, a função f não varia até primeira ordem — a direção é tangente à curva de nível de f que passa por P. Em termos geométricos, isso ocorre porque \hat{u} é ortogonal ao gradiente \nabla f(1,2).

Resposta

D_{\vec{u}}f(1,2)=0
\hat{u}=\left(\dfrac{6}{\sqrt{37}},-\dfrac{1}{\sqrt{37}}\right)

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