Desenhe o gráfico da função
indicando:
(a) as suas primeira e segunda derivadas
(b) seus intervalos de concavidade
(c) seus pontos críticos
(d) as tendências
e
(a) as suas primeira e segunda derivadas
(b) seus intervalos de concavidade
(c) seus pontos críticos
(d) as tendências
Passo 1
O enunciado pede para desenhar o gráfico da função
e indicar:
(a) as suas primeira e segunda derivadas;
(b) os intervalos de concavidade;
(c) os pontos críticos;
(d) as tendências (limites) e
.
(a) as suas primeira e segunda derivadas;
(b) os intervalos de concavidade;
(c) os pontos críticos;
(d) as tendências (limites)
Informações dadas (a partir do enunciado):
- A função é
definida para todo se tomarmos o valor de limite em . - Devemos analisar derivadas, concavidade, pontos críticos e limites laterais e infinitos.
Passo 2
Expressar a função de forma conveniente para derivar e tratar o ponto
.
Para
escrevemos
como exponencial:
Essa escrita é útil porque transforma potência com expoente variável em exponencial, e aí usamos regras usuais de derivação de exponencial.
Antes de derivar, verificamos o comportamento em
. Usando a expressão exponencial:
Como
(porque
diverge lentamente e é multiplicado por
), obtemos
Portanto faz sentido definir
para obter continuidade. Contudo a derivada em
precisa ser investigada depois.
Passo 3
Calcular a primeira derivada (para
), passo a passo e com explicação.
Temos
com
. Pela regra da cadeia,
Calculamos
. Para
, a derivada de
é
. Aplicando a regra do produto em
,
Logo, para
,
Comentário didático: a derivada tem um fator
(sempre positivo) e um fator
que muda de sinal conforme
ser maior ou menor que
. Isso controla se a função sobe ou desce.
Sobre
: o limite de
quando
não é finito, porque
enquanto
. Assim
quando
. Portanto
não é diferenciável em
(há uma “inclinação muito íngreme” ao se aproximar de
).
Passo 4
Calcular a segunda derivada (para
), com desenvolvimento passo a passo.
Partimos de
. Aplicando a regra do produto novamente:
Sabemos
para
. Substituindo
,
Factorizando
,
Explicação: o sinal de
é o mesmo do colchete
, porque
. Note que
sempre, então o termo
(positivo se
, negativo se
) é o que pode inverter o sinal quando
.
Passo 5
Encontrar pontos críticos e classificá-los.
Pontos críticos (onde
ou
indefinida). Para
,
Assim os pontos críticos são
Além disso
merece atenção porque
não é finita ali (não é diferenciável), então não é ponto crítico no sentido clássico de
, mas é ponto notável (cúspide vertical da inclinação).
Classificação usando
(valores em
):
- Em
: temos , então e . Assim
logo
é um mínimo local. O valor da função é
- Em
: aqui e novamente, então e . Assim
logo
é um máximo local. O valor da função é
Passo 6
Determinar intervalos de concavidade (sinal de
) e pontos de inflexão.
Como
, o sinal é o do colchete
-
Para
: e , logo para todo . Portanto em : a curva é côncava para cima (convexa) em todo o ramo positivo. -
Para
: escrevendo , temos
A equação
(possíveis pontos de inflexão) reduz-se a
Uma solução simples é
porque
e
. Logo
é solução, o que corresponde a
. Analisando o sinal de
:
- Se
(ou seja, ), verifica-se (teste: dá negativo), logo em : concavidade para baixo. - Se
(ou seja, ), então , logo em : concavidade para cima.
Portanto há um ponto de inflexão em
onde
. Conclusão dos intervalos de concavidade:
-
é côncava para cima (convexa) em e em . -
é côncava para baixo em .
Passo 7
Comportamento nas infinitas e em
(limites), com justificativa curta.
Usando
:
- Para
: e , logo
- Para
: escreva com . Então , logo
- Para
: já mostrado no Passo 2, e portanto
Observação útil: a função é contínua em
se atribuirmos
, mas a derivada não existe em
(tende a
).
Passo 8
Resumo prático para desenhar o gráfico (valores e forma), com pontos de referência numéricos.
Pontos e comportamentos-chave para rascunhar:
- Valor em
: (definição por limite). A curva passa por . - Ponto crítico mínimo em
com No ramo a função desce de até esse mínimo em e depois sobe para . - Ponto crítico máximo em
com No ramo a função vem de (quando ), sobe até esse máximo em e depois desce para em . - Inflection point em
. - Concavidade: convexa em
, côncava em , convexa em . - Derivada em
não existe; ao aproximar a inclinação fica muito negativa (tende a ), formando uma subida/descida muito íngreme perto de pelo lado direito e esquerdo.
Valores rápidos para marcação:
Com esses pontos e informações de monotonia/concavidade, dá para traçar um esboço fiel do gráfico: ramo à direita com mínimo em
e subida para infinito; ramo à esquerda subindo de
até o máximo em
, inflexão em
, depois descendo para
em
.
Resposta
(a)
para
. \quad
para
. \quad Em
a função é contínua (
) mas
não existe (tende a
).
(b) Concavidade: côncava para cima em e em
; côncava para baixo em
. Ponto de inflexão em
.
(c) Pontos críticos: . \quad
é mínimo local com
. \quad
é máximo local com
. (Além disso
é ponto notável onde
é contínua mas não diferenciável.)
(d) Limites: . \quad
. \quad
.
(b) Concavidade: côncava para cima em
(c) Pontos críticos:
(d) Limites: