Desenhe o gráfico da função |x|^{x} indicando:
(a) as suas primeira e segunda derivadas
(b) seus intervalos de concavidade
(c) seus pontos críticos
(d) as tendências \lim _{x \rightarrow \pm \infty}|x|^{x} e \lim _{x \rightarrow 0^{ \pm}}|x|^{x}

Passo 1

O enunciado pede para desenhar o gráfico da função |x|^{x} e indicar:
(a) as suas primeira e segunda derivadas;
(b) os intervalos de concavidade;
(c) os pontos críticos;
(d) as tendências (limites) \lim_{x\to\pm\infty}|x|^{x} e \lim_{x\to 0^{\pm}}|x|^{x}.
Informações dadas (a partir do enunciado):
  • A função é f(x)=|x|^{x} definida para todo x\in\mathbb{R} se tomarmos o valor de limite em x=0.
  • Devemos analisar derivadas, concavidade, pontos críticos e limites laterais e infinitos.

Passo 2

Expressar a função de forma conveniente para derivar e tratar o ponto x=0.
Para x\neq0 escrevemos |x|^{x} como exponencial:
f(x)=|x|^{x}=\exp\big(x\ln|x|\big).
Essa escrita é útil porque transforma potência com expoente variável em exponencial, e aí usamos regras usuais de derivação de exponencial.
Antes de derivar, verificamos o comportamento em x\to0. Usando a expressão exponencial:
\lim_{x\to 0} |x|^{x}=\lim_{x\to 0}\exp\big(x\ln|x|\big)=\exp\!\big(\lim_{x\to0}x\ln|x|\big).
Como \lim_{x\to0}x\ln|x|=0 (porque \ln|x| diverge lentamente e é multiplicado por x\to0), obtemos
\lim_{x\to0}|x|^{x}=e^{0}=1.
Portanto faz sentido definir f(0)=1 para obter continuidade. Contudo a derivada em 0 precisa ser investigada depois.

Passo 3

Calcular a primeira derivada (para x\neq0), passo a passo e com explicação.
Temos f(x)=\exp(g(x)) com g(x)=x\ln|x|. Pela regra da cadeia,
f'(x)=f(x)\,g'(x).
Calculamos g'(x). Para x\neq0, a derivada de \ln|x| é 1/x. Aplicando a regra do produto em g(x)=x\ln|x|,
g'(x)=\ln|x| + x\cdot\frac{1}{x}=\ln|x|+1.
Logo, para x\neq0,
\boxed{f'(x)=|x|^{x}\big(\ln|x|+1\big).}
Comentário didático: a derivada tem um fator |x|^{x} (sempre positivo) e um fator \ln|x|+1 que muda de sinal conforme |x| ser maior ou menor que 1/e. Isso controla se a função sobe ou desce.
Sobre x=0: o limite de f'(x) quando x\to0 não é finito, porque \ln|x|\to-\infty enquanto |x|^{x}\to1. Assim f'(x)\to -\infty quando x\to0^\pm. Portanto f não é diferenciável em 0 (há uma “inclinação muito íngreme” ao se aproximar de 0).

Passo 4

Calcular a segunda derivada (para x\neq0), com desenvolvimento passo a passo.
Partimos de f'(x)=f(x)\,(\ln|x|+1). Aplicando a regra do produto novamente:
f''(x)=f'(x)\,(\ln|x|+1)+f(x)\,\frac{d}{dx}(\ln|x|+1).
Sabemos \dfrac{d}{dx}(\ln|x|+1)=\dfrac{1}{x} para x\neq0. Substituindo f'(x)=f(x)(\ln|x|+1),
f''(x)=f(x)(\ln|x|+1)^2+f(x)\cdot\frac{1}{x}.
Factorizando f(x)=|x|^{x},
\boxed{f''(x)=|x|^{x}\left[(\ln|x|+1)^2+\frac{1}{x}\right],\quad x\neq0.}
Explicação: o sinal de f'' é o mesmo do colchete (\ln|x|+1)^2+\tfrac{1}{x}, porque |x|^{x}>0. Note que (\ln|x|+1)^2\ge0 sempre, então o termo \tfrac{1}{x} (positivo se x>0, negativo se x<0) é o que pode inverter o sinal quando x<0.

Passo 5

Encontrar pontos críticos e classificá-los.
Pontos críticos (onde f'(x)=0 ou f' indefinida). Para x\neq0,
f'(x)=0 \iff \ln|x|+1=0 \iff \ln|x|=-1 \iff |x|=\frac{1}{e}.
Assim os pontos críticos são
x=\frac{1}{e}\quad\text{e}\quad x=-\frac{1}{e}.
Além disso x=0 merece atenção porque f' não é finita ali (não é diferenciável), então não é ponto crítico no sentido clássico de f'=0, mas é ponto notável (cúspide vertical da inclinação).
Classificação usando f'' (valores em x=\pm 1/e):
  • Em x=\dfrac{1}{e}: temos \ln(1/e)=-1, então (\ln|x|+1)^2=0 e \dfrac{1}{x}=e. Assim
f''\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=|1/e|^{1/e}\cdot e = e^{-1/e}\cdot e>0,
logo x=\dfrac{1}{e} é um mínimo local. O valor da função é
f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=\left(\tfrac{1}{e}\right)^{1/e}=e^{-1/e}\approx 0,6922.
  • Em x=-\dfrac{1}{e}: aqui |x|=1/e e \ln|x|=-1 novamente, então (\ln|x|+1)^2=0 e \dfrac{1}{x}=-e. Assim
f''\!\left(-\tfrac{1}{e}\right)=| -1/e |^{-1/e}\cdot(-e) = e^{1/e}\cdot(-e)<0,
logo x=-\dfrac{1}{e} é um máximo local. O valor da função é
f\!\left(-\tfrac{1}{e}\right)=\left(\tfrac{1}{e}\right)^{-1/e}=e^{1/e}\approx 1,4447.

Passo 6

Determinar intervalos de concavidade (sinal de f'') e pontos de inflexão.
Como f''(x)=|x|^{x}\big[(\ln|x|+1)^2+\tfrac{1}{x}\big], o sinal é o do colchete
B(x)=(\ln|x|+1)^2+\frac{1}{x}.
  • Para x>0: \dfrac{1}{x}>0 e (\ln x+1)^2\ge0, logo B(x)>0 para todo x>0. Portanto f''(x)>0 em (0,\infty): a curva é côncava para cima (convexa) em todo o ramo positivo.
  • Para x<0: escrevendo t=|x|=-x>0, temos
B(x)=(\ln t+1)^2-\frac{1}{t}.
A equação B(x)=0 (possíveis pontos de inflexão) reduz-se a
(\ln t+1)^2=\frac{1}{t}.
Uma solução simples é t=1 porque \ln1+1=1 e 1^2=1=\tfrac{1}{1}. Logo t=1 é solução, o que corresponde a x=-1. Analisando o sinal de B:
  • Se 0<t<1 (ou seja, -1<x<0), verifica-se B(x)<0 (teste: t=0{,}1 dá negativo), logo f''<0 em (-1,0): concavidade para baixo.
  • Se t>1 (ou seja, x<-1), então B(x)>0, logo f''>0 em (-\infty,-1): concavidade para cima.
Portanto há um ponto de inflexão em
\boxed{x=-1}
onde f''(-1)=0. Conclusão dos intervalos de concavidade:
  • f é côncava para cima (convexa) em (-\infty,-1) e em (0,\infty).
  • f é côncava para baixo em (-1,0).

Passo 7

Comportamento nas infinitas e em 0 (limites), com justificativa curta.
Usando f(x)=\exp(x\ln|x|):
  • Para x\to+\infty: \ln|x|=\ln x\to+\infty e x\ln x\to+\infty, logo
\lim_{x\to+\infty}|x|^{x}=+\infty.
  • Para x\to-\infty: escreva x=-t com t\to+\infty. Então x\ln|x|=-t\ln t\to -\infty, logo
\lim_{x\to-\infty}|x|^{x}=0.
  • Para x\to0^{\pm}: já mostrado no Passo 2, x\ln|x|\to0 e portanto
\lim_{x\to0^{\pm}}|x|^{x}=1.
Observação útil: a função é contínua em 0 se atribuirmos f(0)=1, mas a derivada não existe em 0 (tende a -\infty).

Passo 8

Resumo prático para desenhar o gráfico (valores e forma), com pontos de referência numéricos.
Pontos e comportamentos-chave para rascunhar:
  • Valor em 0: f(0)=1 (definição por limite). A curva passa por (0,1).
  • Ponto crítico mínimo em x=\tfrac{1}{e} com f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=e^{-1/e}\approx 0,6922.No ramo x>0 a função desce de 1 até esse mínimo em x=\tfrac{1}{e} e depois sobe para +\infty.
  • Ponto crítico máximo em x=-\tfrac{1}{e} com f\!\left(-\tfrac{1}{e}\right)=e^{1/e}\approx 1,4447.No ramo x<0 a função vem de 0 (quando x\to-\infty), sobe até esse máximo em -\tfrac{1}{e} e depois desce para 1 em x=0.
  • Inflection point em x=-1.
  • Concavidade: convexa em (-\infty,-1), côncava em (-1,0), convexa em (0,\infty).
  • Derivada em 0 não existe; ao aproximar 0 a inclinação fica muito negativa (tende a -\infty), formando uma subida/descida muito íngreme perto de 0 pelo lado direito e esquerdo.
Valores rápidos para marcação:
f(1)=1,\quad f(-1)=1,\quad f(2)=4,\quad f(-2)=2^{-2}=\tfrac{1}{4}.
Com esses pontos e informações de monotonia/concavidade, dá para traçar um esboço fiel do gráfico: ramo à direita com mínimo em 1/e e subida para infinito; ramo à esquerda subindo de 0 até o máximo em -1/e, inflexão em -1, depois descendo para 1 em 0.

Resposta

(a) f'(x)=|x|^{x}\big(\ln|x|+1\big) para x\neq0. \quad f''(x)=|x|^{x}\!\left[(\ln|x|+1)^2+\dfrac{1}{x}\right] para x\neq0. \quad Em x=0 a função é contínua ( f(0)=1) mas f' não existe (tende a -\infty).
(b) Concavidade: côncava para cima em (-\infty,-1) e em (0,\infty); côncava para baixo em (-1,0). Ponto de inflexão em x=-1.
(c) Pontos críticos: x=\pm \dfrac{1}{e}. \quad x=\dfrac{1}{e} é mínimo local com f\!\left(\tfrac{1}{e}\right)=e^{-1/e}\approx 0,6922. \quad x=-\dfrac{1}{e} é máximo local com f\!\left(-\tfrac{1}{e}\right)=e^{1/e}\approx 1,4447. (Além disso x=0 é ponto notável onde f é contínua mas não diferenciável.)
(d) Limites: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}|x|^{x}=+\infty. \quad \displaystyle\lim_{x\to-\infty}|x|^{x}=0. \quad \displaystyle\lim_{x\to0^{\pm}}|x|^{x}=1.

Exercícios relacionados