Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x^2 y = 3.4 x + 3 y - 13 = 0

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e .
Matéria envolvida: Cálculo de integrais para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar:
  1. Encontrar os pontos de interseção das curvas.
  2. Determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo.
  3. Configurar e calcular as integrais apropriadas para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, vamos igualar as duas equações:
Podemos expressar da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Multiplicamos todos os termos por para eliminar o denominador:
Colocando em ordem:

Passo 3

Vamos resolver a equação cúbica para encontrar os valores de :
Tentamos encontrar raízes racionais. Testando :
Portanto, é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvemos agora a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos:
Portanto, os pontos de interseção são , e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Para isso, escolhemos valores de em cada intervalo e comparamos os valores de :
  1. Entre e :
    Escolhemos :
    ãó
    Portanto, a reta está acima da curva neste intervalo.
  2. Entre e :
    Escolhemos :
    Aqui, novamente, a reta está acima da curva.

Passo 5

Com as informações acima, podemos configurar as integrais para calcular a área. A área entre duas curvas e de a é dada por:
Á
No nosso caso, a reta está acima da curva nos intervalos e . Portanto, a área total é a soma das duas áreas:
Á

Passo 6

Vamos calcular cada integral separadamente.
  1. Primeira Integral ( a ):
Simplificando:
Calculamos cada termo:
Portanto:
  1. Segunda Integral ( a ):
Seguindo os mesmos passos:

Passo 7

Calculando as integrais:
  1. Primeira Integral:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
  1. Segunda Integral:
Simplificando:

Resposta

A área total das regiões limitadas pelas curvas é aproximadamente unidades de área.

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