Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de integrais para encontrar áreas entre curvas.
O que vamos precisar:
- Encontrar os pontos de interseção das curvas.
- Determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo.
- Configurar e calcular as integrais apropriadas para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Para isso, vamos igualar as duas equações:
Podemos expressar
da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Multiplicamos todos os termos por
para eliminar o denominador:
Colocando em ordem:
Passo 3
Vamos resolver a equação cúbica
para encontrar os valores de
:
Tentamos encontrar raízes racionais. Testando
:
Portanto,
é uma raiz. Fazemos a divisão polinomial para fatorar:
Resolvemos agora a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Assim, temos:
Portanto, os pontos de interseção são
,
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual curva está acima da outra em cada intervalo determinado pelos pontos de interseção.
Para isso, escolhemos valores de
em cada intervalo e comparamos os valores de
:
-
Entre
e : Escolhemos: Portanto, a retaestá acima da curva neste intervalo. -
Entre
e : Escolhemos: Aqui, novamente, a reta está acima da curva.
Passo 5
Com as informações acima, podemos configurar as integrais para calcular a área. A área entre duas curvas
e
de
a
é dada por:
No nosso caso, a reta
está acima da curva
nos intervalos
e
. Portanto, a área total é a soma das duas áreas:
Passo 6
Vamos calcular cada integral separadamente.
- Primeira Integral (
a ):
Simplificando:
Calculamos cada termo:
Portanto:
- Segunda Integral (
a ):
Seguindo os mesmos passos:
Passo 7
Calculando as integrais:
- Primeira Integral:
Simplificando:
Calculando os valores numéricos:
- Segunda Integral:
Simplificando:
Resposta
A área total das regiões limitadas pelas curvas é aproximadamente
unidades de área.