Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = sen(2x) / 2, y = sen(2x) / 2 + sen(2x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar quais conceitos vamos usar. Aqui, precisamos calcular a área das regiões limitadas por duas curvas:
E isso no intervalo de . Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações das curvas para facilitar os cálculos. Olhando para a segunda função:
Podemos somar os termos semelhantes:
Agora, temos duas funções mais simples:

Passo 3

Para encontrar a área entre essas duas curvas no intervalo dado, precisamos calcular a integral da diferença entre as funções onde uma está acima da outra. A ideia é encontrar o quanto se “separa” as duas curvas ao longo do intervalo.
A área pode ser expressa por:
Antes de calcular, vamos ver qual função está por cima. Como e , fica claro que está sempre acima de quando é positivo.

Passo 4

Substituindo e na expressão da área:
Note que simplificamos a diferença das funções para apenas .

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Então, avaliando de a :
Sabemos que e , então:
Ops! Parece que houve um erro. Isso ocorre porque a função muda de sinal no intervalo . Precisamos considerar o valor absoluto para garantir que estamos somando áreas positivas.
Vamos corrigir isso dividindo o intervalo onde é positivo e negativo.
Resolvendo cada parte:
  1. Primeira integral ( a ):
  1. Segunda integral ( a ):

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas é igual a 2 unidades de área.

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