Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo e identificar quais conceitos vamos usar. Aqui, precisamos calcular a área das regiões limitadas por duas curvas:
E isso no intervalo de
. Para resolver isso, vamos usar cálculo integral, especificamente a integração de funções para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações das curvas para facilitar os cálculos. Olhando para a segunda função:
Podemos somar os termos semelhantes:
Agora, temos duas funções mais simples:
Passo 3
Para encontrar a área entre essas duas curvas no intervalo dado, precisamos calcular a integral da diferença entre as funções onde uma está acima da outra. A ideia é encontrar o quanto se “separa” as duas curvas ao longo do intervalo.
A área
pode ser expressa por:
Antes de calcular, vamos ver qual função está por cima. Como
e
, fica claro que
está sempre acima de
quando
é positivo.
Passo 4
Substituindo
e
na expressão da área:
Note que simplificamos a diferença das funções para apenas
.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Então, avaliando de
a
:
Sabemos que
e
, então:
Ops! Parece que houve um erro. Isso ocorre porque a função
muda de sinal no intervalo
. Precisamos considerar o valor absoluto para garantir que estamos somando áreas positivas.
Vamos corrigir isso dividindo o intervalo onde
é positivo e negativo.
Resolvendo cada parte:
- Primeira integral (
a ):
- Segunda integral (
a ):
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas é igual a 2 unidades de área.