Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x * e^(-x^2), y = 0, x = c, onde c é o máximo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pelas curvas , (que é o eixo x) e , onde é o ponto de máximo dessa função. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar o máximo e integrais para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que é onde a função atinge o seu ponto máximo. Para isso, vamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero, pois no ponto máximo a derivada é zero.
A função é:
Vamos derivar usando a regra do produto:
Igualando a derivada a zero:
Como nunca é zero, temos:
Como estamos procurando o máximo positivo, temos:

Passo 3

Agora que temos o valor de , vamos calcular a área limitada pelas curvas. A área entre , e é dada pela integral definida de em relação a , de até .
Portanto:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:

Passo 5

Substituindo o valor de :
Então:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é:

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