Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
, onde
é o máximo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área limitada pelas curvas
,
(que é o eixo x) e
, onde
é o ponto de máximo dessa função. Vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas para encontrar o máximo e integrais para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que é onde a função
atinge o seu ponto máximo. Para isso, vamos derivar a função em relação a
e igualar a derivada a zero, pois no ponto máximo a derivada é zero.
A função é:
Vamos derivar usando a regra do produto:
Igualando a derivada a zero:
Como
nunca é zero, temos:
Como estamos procurando o máximo positivo, temos:
Passo 3
Agora que temos o valor de
, vamos calcular a área limitada pelas curvas. A área
entre
,
e
é dada pela integral definida de
em relação a
, de
até
.
Portanto:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma substituição simples. Seja:
Substituindo na integral:
Passo 5
Substituindo o valor de
:
Então:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é: