Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x + 4, y = x^2 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Esse tipo de problema está relacionado ao cálculo de áreas entre curvas no estudo de Cálculo Integral. Para resolver isso, vamos precisar encontrar onde essas duas curvas se encontram (pontos de interseção) e depois integrar a diferença entre elas para achar a área.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos em que as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Vamos resolver essa equação para . Multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
Agora, rearranjamos a equação para deixá-la igual a zero:
Essa é uma equação quadrática que podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Bhaskara para a equação :
Isso nos dá duas soluções:
Então, os pontos de interseção são e .

Passo 4

Agora que temos os pontos de interseção, precisamos identificar qual das duas curvas está acima da outra nesse intervalo. Vamos escolher um valor de entre -2 e 4, por exemplo, :
Nesse caso, está acima de . Portanto, a área entre as curvas é a integral da função de cima menos a de baixo, de a :
Á

Passo 5

Vamos calcular essa integral:
Á
Integrando termo a termo:
Calculando para :
Calculando para :
Subtraindo:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é 18 unidades quadradas.

Exercícios relacionados