Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
Passo 1
Beleza, então a gente precisa calcular o comprimento do arco da curva
no intervalo de
até
. Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de comprimento de arco de uma função. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e saber como derivar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função
entre
e
. A fórmula é:
Isso basicamente soma infinitos pequenos pedaços do comprimento do arco para obter o total.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
. Nossa função é
. Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 4
Vamos agora substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:
Passo 5
Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral não tem uma solução analítica simples, então vamos resolver numericamente. Usando métodos de aproximação ou uma calculadora de integrais, obtemos aproximadamente:
Resposta
O comprimento do arco da curva
de
a
é aproximadamente 1,198 unidades.