Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = arcsen(e^(-x)) de x = 0 a x = 1

Passo 1

Beleza, então a gente precisa calcular o comprimento do arco da curva no intervalo de até . Isso faz parte do estudo de cálculo, especificamente no tópico de comprimento de arco de uma função. Para resolver isso, vamos precisar da fórmula do comprimento de arco e saber como derivar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de um arco de uma função entre e . A fórmula é:
Isso basicamente soma infinitos pequenos pedaços do comprimento do arco para obter o total.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de em relação a . Nossa função é . Para derivar isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos agora substituir a derivada na fórmula do comprimento de arco:
Simplificando dentro da raiz:
Então:

Passo 5

Agora, precisamos calcular a integral:
Essa integral não tem uma solução analítica simples, então vamos resolver numericamente. Usando métodos de aproximação ou uma calculadora de integrais, obtemos aproximadamente:

Resposta

O comprimento do arco da curva de a é aproximadamente 1,198 unidades.

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