Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^2, y = -x + 2

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrando a diferença entre as funções que formam as curvas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação , usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , e . Calculando:
Assim, temos duas soluções:

Passo 4

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , montamos a integral para calcular a área entre elas. A área é dada por:
Aqui, subtraímos de porque está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Subtraindo:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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