Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrando a diferença entre as funções que formam as curvas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as duas curvas se intersectam. Isso nos ajuda a determinar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Calculando:
Assim, temos duas soluções:
Passo 4
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, montamos a integral para calcular a área entre elas. A área
é dada por:
Aqui, subtraímos
de
porque
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.