Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
, de
até
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva entre
e
. Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco, que é um tópico de Cálculo Diferencial. Vamos precisar derivar a função, aplicar a fórmula e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva dada por
entre dois pontos
e
. A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de
em relação a
, elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar esse resultado de
até
.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada de . Usando a regra da cadeia:
Passo 4
Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:
Passo 5
Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Sabemos que
, então:
Passo 6
A integral de
é conhecida e é igual a
. Então, aplicando os limites:
Passo 7
Calculando nos limites:
Para
:
Então:
Para
:
Então:
Passo 8
Subtraindo os valores:
Resposta
O comprimento do arco da curva entre
e
é
.