Calcule os comprimentos de arco da seguintes curvas, entre os pontos indicados:
y = ln(sen(x)), de x = pi / 3 até x = pi / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o comprimento do arco da curva entre e . Para isso, vamos usar a fórmula de comprimento de arco, que é um tópico de Cálculo Diferencial. Vamos precisar derivar a função, aplicar a fórmula e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para o comprimento de um arco de uma curva dada por entre dois pontos e . A fórmula é:
Isso significa que a gente precisa calcular a derivada de em relação a , elevar ao quadrado, somar 1, tirar a raiz quadrada e integrar esse resultado de até .

Passo 3

Vamos encontrar a derivada de . Usando a regra da cadeia:

Passo 4

Agora, vamos elevar essa derivada ao quadrado:

Passo 5

Substituindo na fórmula do comprimento do arco:
Sabemos que , então:

Passo 6

A integral de é conhecida e é igual a . Então, aplicando os limites:

Passo 7

Calculando nos limites:
Para :
Então:
Para :
Então:

Passo 8

Subtraindo os valores:

Resposta

O comprimento do arco da curva entre e é .

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