Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
2y(1+y^2)^3 - x = 0, y=0, y=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e . A matéria que vamos usar aqui é o Cálculo Integral, especificamente para encontrar a área entre curvas. Vamos precisar entender como montar uma integral definida com os limites corretos para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação da curva para facilitar a integração. A equação dada é:
Vamos isolar :
Agora temos em função de , o que é útil para calcular a área entre as curvas em relação a .

Passo 3

Os limites de integração são os valores de que delimitam a área que queremos calcular. Pelo enunciado, esses limites são e . Isso significa que vamos integrar de até .

Passo 4

A área entre as curvas pode ser encontrada integrando a função em relação a entre os limites estabelecidos. Então, temos:

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Para facilitar, podemos usar uma substituição. Seja:
Observe que aparece na nossa integral original, o que combina perfeitamente com . Substituindo, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos integrar :
Aplicando os limites de integração de a :

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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