Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x = 3y, x + y = 0 e 7x + 3y = 24

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a área das regiões delimitadas pelas três retas: , e . Para resolver isso, vamos usar um pouco de geometria analítica. Primeiro, precisamos encontrar onde essas retas se cruzam para saber os pontos que formam o polígono cuja área queremos calcular.

Passo 2

Vamos encontrar os pontos de interseção das retas duas a duas:
  1. Interseção de e :
    Substituindo na segunda equação:
    Então, . Ponto de interseção: .
  2. Interseção de e :
    Substituindo na terceira equação:
    Então, . Ponto de interseção: .
  3. Interseção de e :
    Da primeira equação, . Substituindo na terceira:
    Então, . Ponto de interseção: .

Passo 3

Agora que temos os três pontos de interseção: , e , vamos plotar esses pontos para visualizar a região que precisamos calcular. Isso forma um triângulo, e vamos calcular a área desse triângulo.

Passo 4

Para calcular a área de um triângulo dado três pontos, podemos usar a seguinte fórmula:
Á
Onde , e são os vértices do triângulo.

Passo 5

Vamos aplicar os pontos na fórmula:
Á
Á
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é 12 unidades de área.

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