Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = e^(-x), y = x + 1, x = -1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , e a reta vertical . Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre e . Igualando as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos analisar graficamente. Testando alguns valores de , percebemos que as curvas se encontram em , onde .

Passo 3

Agora, sabemos que a reta vertical também delimita a região. Precisamos verificar qual das funções está por cima desse intervalo, de até . Vamos avaliar as funções em :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Com isso, a área que queremos calcular é a integral da diferença entre as duas funções, de a . A fórmula fica assim:
Á
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 5

Primeiro, vamos integrar :
Depois, integramos :
Então, a integral completa fica:
Á

Passo 6

Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração:
Em :
Em :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos:
Á

Resposta

A área da região delimitada pelas curvas é unidades quadradas, aproximadamente unidades quadradas.

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