Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
e a reta vertical
. Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especificamente integrais, para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde essas curvas se encontram. Precisamos achar os pontos de interseção entre
e
. Igualando as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algebricamente, então vamos analisar graficamente. Testando alguns valores de
, percebemos que as curvas se encontram em
, onde
.
Passo 3
Agora, sabemos que a reta vertical
também delimita a região. Precisamos verificar qual das funções está por cima desse intervalo, de
até
. Vamos avaliar as funções em
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Com isso, a área que queremos calcular é a integral da diferença entre as duas funções, de
a
. A fórmula fica assim:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 5
Primeiro, vamos integrar
:
Depois, integramos
:
Então, a integral completa fica:
Passo 6
Agora, avaliamos essa expressão nos limites de integração:
Em
:
Em
:
Passo 7
Subtraindo os valores obtidos:
Resposta
A área da região delimitada pelas curvas é
unidades quadradas, aproximadamente
unidades quadradas.