Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x = y(y - 3)², x = 0

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas, usando integração. Precisaremos encontrar os pontos de interseção das curvas e configurar a integral adequada para calcular a área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando .
Resolvendo :
Então, as curvas se intersectam nos pontos e . Esses serão os limites da nossa integração.

Passo 3

Agora, vamos entender que é simplesmente o eixo . Queremos a área entre essa linha e a curva de a .
A fórmula para a área entre duas curvas em relação a é:
Á
Aqui, e .

Passo 4

Vamos montar a integral para a área:
Á
Antes de integrar, é mais fácil expandir a expressão .
Primeiro, expandimos :
Multiplicando por :
Então, a integral fica:
Á

Passo 5

Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral completa é:
Á

Passo 6

Vamos calcular avaliando de a :
Para :
Convertendo tudo para denominador 4:
Para :
Então, a área total é:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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