Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Aqui, estamos lidando com cálculo de áreas entre curvas, usando integração. Precisaremos encontrar os pontos de interseção das curvas e configurar a integral adequada para calcular a área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram. Isso acontece quando
.
Resolvendo
:
-
-
→
Então, as curvas se intersectam nos pontos
e
. Esses serão os limites da nossa integração.
Passo 3
Agora, vamos entender que
é simplesmente o eixo
. Queremos a área entre essa linha e a curva
de
a
.
A fórmula para a área entre duas curvas em relação a
é:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos montar a integral para a área:
Antes de integrar, é mais fácil expandir a expressão
.
Primeiro, expandimos
:
Multiplicando por
:
Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos integrar termo a termo:
Portanto, a integral completa é:
Passo 6
Vamos calcular avaliando de
a
:
Para
:
Convertendo tudo para denominador 4:
Para
:
Então, a área total é:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas é
unidades quadradas.