Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
x + y = 8, x = 0, y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pelas curvas , e .
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos.
O que vamos precisar:
  • Entender como identificar a região a ser rotacionada.
  • Aplicar a fórmula do método dos discos.
  • Calcular integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo rotacionada. As curvas dadas são:
  1. → Podemos reescrever como .
  2. → Eixo .
  3. → Eixo .
Isso forma um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo dos , vamos usar o método dos discos. Esse método envolve:
  • Dividir a região em fatias perpendiculares ao eixo de rotação ( ).
  • Cada fatia gera um disco quando rotacionada.
  • O volume de cada disco é , onde é o raio do disco.

Passo 4

Precisamos expressar a altura das fatias em termos de . A função que define a fronteira superior da região é . Então, o raio de cada disco é justamente essa função: .

Passo 5

Agora, configuramos a integral para calcular o volume total. A fórmula geral do método dos discos é:
Aqui, e (os limites de ), e .

Passo 6

Substituindo na fórmula:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, expandimos o integrando:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, integramos termo a termo:

Passo 9

Aplicamos os limites de integração de 0 a 8:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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