Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas curvas
,
e
.
Matéria envolvida: Cálculo de volumes de sólidos de revolução usando o método dos discos.
O que vamos precisar:
- Entender como identificar a região a ser rotacionada.
- Aplicar a fórmula do método dos discos.
- Calcular integrais definidas.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que está sendo rotacionada. As curvas dadas são:
-
→ Podemos reescrever como . -
→ Eixo . -
→ Eixo .
Isso forma um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Como vamos rotacionar essa região em torno do eixo dos
, vamos usar o método dos discos. Esse método envolve:
- Dividir a região em fatias perpendiculares ao eixo de rotação (
). - Cada fatia gera um disco quando rotacionada.
- O volume de cada disco é
, onde é o raio do disco.
Passo 4
Precisamos expressar a altura das fatias em termos de
. A função que define a fronteira superior da região é
. Então, o raio
de cada disco é justamente essa função:
.
Passo 5
Agora, configuramos a integral para calcular o volume total. A fórmula geral do método dos discos é:
Aqui,
e
(os limites de
), e
.
Passo 6
Substituindo na fórmula:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, expandimos o integrando:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, integramos termo a termo:
Passo 9
Aplicamos os limites de integração de 0 a 8:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.