Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
O triângulo de vértices
e
O triângulo de vértices
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada por um triângulo com vértices em
,
e
é girada em torno do eixo dos
. Vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, é importante entender quais são as curvas que delimitam a região. Temos um triângulo com três lados:
- A vertical de
a – essa é a reta . - A horizontal de
a – essa é a reta . - A diagonal de
a – para essa reta, precisamos encontrar a equação.
Passo 3
Vamos achar a equação da reta diagonal. Sabemos dois pontos dessa reta:
e
. A inclinação (coeficiente angular) da reta é:
Então, a equação da reta usando a forma
é:
Ou seja:
Passo 4
Agora, para usar o método dos discos, vamos considerar uma fatia vertical infinitesimal da região a uma distância
do eixo
. Quando essa fatia é girada em torno do eixo dos
, forma um disco com raio igual à distância do
até a curva superior menos a distância até a curva inferior.
Aqui, a curva superior é
e a curva inferior é
. Então, o raio do disco é:
Passo 5
A área da seção transversal (disco) é então:
Passo 6
Para encontrar o volume total, integramos essa área de
até
:
Passo 7
Vamos expandir o quadrado para simplificar a integração:
Então:
Passo 8
Integrando termo a termo:
Passo 9
Calculando nos limites de integração:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.