Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
O triângulo de vértices (0,0),(0,2) e (4,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é formado quando a região limitada por um triângulo com vértices em (0,0), 0,2 e (4,2) é girada em torno do eixo dos x. Vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, é importante entender quais são as curvas que delimitam a região. Temos um triângulo com três lados:
  1. A vertical de (0,0) a 0,2 – essa é a reta x = 0.
  2. A horizontal de 0,2 a (4,2) – essa é a reta y = 2.
  3. A diagonal de (4,2) a (0,0) – para essa reta, precisamos encontrar a equação.

Passo 3

Vamos achar a equação da reta diagonal. Sabemos dois pontos dessa reta: (0,0) e (4,2). A inclinação (coeficiente angular) da reta é:
Então, a equação da reta usando a forma é:
Ou seja:

Passo 4

Agora, para usar o método dos discos, vamos considerar uma fatia vertical infinitesimal da região a uma distância x do eixo y. Quando essa fatia é girada em torno do eixo dos x, forma um disco com raio igual à distância do x até a curva superior menos a distância até a curva inferior.
Aqui, a curva superior é y = 2 e a curva inferior é . Então, o raio do disco é:

Passo 5

A área da seção transversal (disco) é então:

Passo 6

Para encontrar o volume total, integramos essa área de x = 0 até x = 4:

Passo 7

Vamos expandir o quadrado para simplificar a integração:
Então:

Passo 8

Integrando termo a termo:

Passo 9

Calculando nos limites de integração:
Para x = 4:
Para x = 0:
Então:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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