Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Precisamos achar onde essas curvas se cruzam e então calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação
. Simplificando:
Podemos fatorar
:
Isso nos dá uma solução imediata:
. Para encontrar as outras soluções, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:
Portanto,
e
.
Passo 3
Agora sabemos que as curvas se cruzam em
,
e
. Vamos visualizar qual curva está acima da outra em cada intervalo para determinar a função a ser integrada.
Testando um ponto entre
e
, por exemplo,
:
Aqui,
.
Testando um ponto entre
e
, por exemplo,
:
Aqui,
.
Passo 4
Com isso, sabemos que:
- De
a , está acima de . - De
a , está acima de .
Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular duas integrais separadas:
Passo 5
Vamos calcular a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
.
Passo 6
Agora, a segunda integral:
Integrando termo a termo:
Resposta
Somando as duas áreas, temos:
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas dadas é 48 unidades quadradas.