Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = -x^3 + 2x^2 + 3x, y = -5x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, mais especificamente, integrais definidas para encontrar a área entre duas curvas. Precisamos achar onde essas curvas se cruzam e então calcular a integral da diferença entre elas nesses intervalos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção das duas curvas. Isso significa resolver a equação . Simplificando:
Podemos fatorar :
Isso nos dá uma solução imediata: . Para encontrar as outras soluções, resolvemos:
Usando a fórmula quadrática:
Portanto, e .

Passo 3

Agora sabemos que as curvas se cruzam em , e . Vamos visualizar qual curva está acima da outra em cada intervalo para determinar a função a ser integrada.
Testando um ponto entre e , por exemplo, :
Aqui, .
Testando um ponto entre e , por exemplo, :
Aqui, .

Passo 4

Com isso, sabemos que:
  • De a , está acima de .
  • De a , está acima de .
Para encontrar a área entre as curvas, vamos calcular duas integrais separadas:
Á

Passo 5

Vamos calcular a primeira integral:
Integrando termo a termo:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto: .

Passo 6

Agora, a segunda integral:
Integrando termo a termo:

Resposta

Somando as duas áreas, temos:
Á
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas dadas é 48 unidades quadradas.

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