Resolva o PVI, usando o método dos fatores integrantes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos fatores integrantes, que ajuda a resolver equações diferenciais de primeira ordem lineares. Nessa resolução, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, está na forma
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para facilitar a resolução. O fator integrante
é dado por:
Então, nosso fator integrante é
.
Passo 4
Agora, vamos multiplicar toda a equação pela fator integrante:
Isso simplifica para:
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto do fator integrante com
.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
. O lado direito, a integral de
, não tem uma solução em termos de funções elementares, então vamos representá-la usando a função erro (
):
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Passo 7
Para encontrar a constante
, usamos a condição inicial
:
Então,
.
Resposta
A solução do problema é: