Resolva o PVI, usando o método dos fatores integrantes
{ 2y' + ty = 2, y(0) = 1 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O conteúdo que vamos usar aqui é o método dos fatores integrantes, que ajuda a resolver equações diferenciais de primeira ordem lineares. Nessa resolução, vamos precisar entender como aplicar esse método passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações lineares. A equação que temos é:
Vamos dividir todos os termos por 2 para facilitar:
Agora, está na forma , onde e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante, que é uma função que a gente multiplica na equação para facilitar a resolução. O fator integrante é dado por:
Então, nosso fator integrante é .

Passo 4

Agora, vamos multiplicar toda a equação pela fator integrante:
Isso simplifica para:
Note que o lado esquerdo é a derivada do produto do fator integrante com .

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente . O lado direito, a integral de , não tem uma solução em termos de funções elementares, então vamos representá-la usando a função erro ( ):
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos resolver para :

Passo 7

Para encontrar a constante , usamos a condição inicial :
Então, .

Resposta

A solução do problema é:

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