Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre círculos e integração para encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas que temos. A segunda equação
é bem conhecida: ela representa um círculo centrado na origem (0,0) com raio 1.
Passo 3
Agora, vamos analisar a primeira equação
. Podemos reescrever essa equação para identificar melhor a curva:
Isso pode ser rearranjado para:
Para completar o quadrado em relação a
, adicionamos e subtraímos 1:
Então:
Essa equação representa outro círculo, mas desta vez centrado em (0,1) com raio 1.
Passo 4
Agora que identificamos as duas curvas como círculos de raio 1, um centrado na origem e o outro em (0,1), vamos visualizar a situação. Esses dois círculos se intersectam, formando uma espécie de “lunes”, e queremos calcular a área dessa região sobreposta.
Passo 5
Para calcular a área da região de interseção entre os dois círculos, podemos usar integração em coordenadas polares ou resolver geometricamente usando ângulos e áreas de segmentos circulares. Vamos optar pela abordagem geométrica para simplificar.
Passo 6
Sabemos que a distância entre os centros dos dois círculos é 1 (de (0,0) a (0,1)). Como os dois círculos têm raio 1, a interseção forma um ângulo central de 60 graus para cada círculo.
Passo 7
A área da sobreposição será a soma das áreas de dois segmentos circulares. A fórmula para a área de um segmento de círculo é:
Onde
é o ângulo central em radianos. Para 60 graus,
.
Passo 8
Calculando a área de um segmento:
Passo 9
Como temos dois segmentos, a área total da região de interseção é:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas é
unidades quadradas.