Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x^2 - 2y + y^2 = 0, x^2 + y^2 = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede pra calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre círculos e integração para encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as curvas que temos. A segunda equação é bem conhecida: ela representa um círculo centrado na origem (0,0) com raio 1.

Passo 3

Agora, vamos analisar a primeira equação . Podemos reescrever essa equação para identificar melhor a curva:
Isso pode ser rearranjado para:
Para completar o quadrado em relação a , adicionamos e subtraímos 1:
Então:
Essa equação representa outro círculo, mas desta vez centrado em (0,1) com raio 1.

Passo 4

Agora que identificamos as duas curvas como círculos de raio 1, um centrado na origem e o outro em (0,1), vamos visualizar a situação. Esses dois círculos se intersectam, formando uma espécie de “lunes”, e queremos calcular a área dessa região sobreposta.

Passo 5

Para calcular a área da região de interseção entre os dois círculos, podemos usar integração em coordenadas polares ou resolver geometricamente usando ângulos e áreas de segmentos circulares. Vamos optar pela abordagem geométrica para simplificar.

Passo 6

Sabemos que a distância entre os centros dos dois círculos é 1 (de (0,0) a (0,1)). Como os dois círculos têm raio 1, a interseção forma um ângulo central de 60 graus para cada círculo.

Passo 7

A área da sobreposição será a soma das áreas de dois segmentos circulares. A fórmula para a área de um segmento de círculo é:
Onde é o ângulo central em radianos. Para 60 graus, .

Passo 8

Calculando a área de um segmento:

Passo 9

Como temos dois segmentos, a área total da região de interseção é:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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