Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x * e^(-x), y = 0, x = 0, x = c, onde c é a abscissa do ponto de inflexão da curva

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , (que é o eixo x), e , onde é a posição na linha x onde a curva muda de concavidade (ponto de inflexão). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de , que é a abscissa do ponto de inflexão da curva . Um ponto de inflexão acontece onde a curvatura da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 3

Vamos achar as derivadas da função . A primeira derivada nos dá a inclinação da curva:
Agora, a segunda derivada nos mostra a concavidade:

Passo 4

Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Podemos fatorar :
Como nunca é zero, temos:
Então, .

Passo 5

Agora que sabemos que , vamos calcular a área entre e sob a curva . A área pode ser encontrada integrando a função nesse intervalo:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
  • então
  • então
Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a 2:

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades de área.

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