Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
, onde
é a abscissa do ponto de inflexão da curva
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
(que é o eixo x),
e
, onde
é a posição na linha x onde a curva muda de concavidade (ponto de inflexão). Para isso, vamos usar um pouco de cálculo, especialmente derivadas e integrais.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de
, que é a abscissa do ponto de inflexão da curva
. Um ponto de inflexão acontece onde a curvatura da função muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 3
Vamos achar as derivadas da função
. A primeira derivada nos dá a inclinação da curva:
Agora, a segunda derivada nos mostra a concavidade:
Passo 4
Para encontrar o ponto de inflexão, igualamos a segunda derivada a zero:
Podemos fatorar
:
Como
nunca é zero, temos:
Então,
.
Passo 5
Agora que sabemos que
, vamos calcular a área entre
e
sob a curva
. A área
pode ser encontrada integrando a função nesse intervalo:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
Vamos escolher:
-
então -
então
Aplicando a fórmula:
Avaliado de 0 a 2:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas é
unidades de área.