Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas do cálculo, que nos permite encontrar áreas sob curvas entre dois pontos.
Passo 2
Para encontrar a área entre essas curvas, vamos integrar a função
no intervalo de
até
. A integral definida vai nos dar a área desejada.
Passo 3
Vamos montar a integral definida que representa essa área:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
. Então, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na integral:
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
- Quando
, . - Quando
, .
Passo 6
Agora, resolvemos a integral:
A integral de
em relação a
é
. Então:
Passo 7
Agora, calculamos os valores numéricos:
Multiplicando pela
:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades quadradas.