Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = 1/(2 x + 1)^{2}, x = 1, x = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o problema. Precisamos calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integrais definidas do cálculo, que nos permite encontrar áreas sob curvas entre dois pontos.

Passo 2

Para encontrar a área entre essas curvas, vamos integrar a função no intervalo de até . A integral definida vai nos dar a área desejada.

Passo 3

Vamos montar a integral definida que representa essa área:
Á

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja . Então, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Agora, substituímos e na integral:
Á
Aqui, calculamos os novos limites de integração:
  • Quando , .
  • Quando , .

Passo 6

Agora, resolvemos a integral:
A integral de em relação a é . Então:

Passo 7

Agora, calculamos os valores numéricos:
Multiplicando pela :

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades quadradas.

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