Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos calcular a área das regiões que estão entre as curvas
e
. Isso envolve entender gráficos de funções, encontrar pontos de interseção e usar integrais para calcular a área. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 4
Vamos resolver a equação quartica
. Podemos usar substituição: seja
, então a equação fica:
Passo 5
Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como
não pode ser negativo, temos
, ou seja,
, então
.
Passo 6
Agora que sabemos que as curvas se intersectam em
e
, vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Vamos calcular os valores de
para
:
Para
:
Então,
está acima de
no intervalo
.
Passo 7
A área
entre as curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 8
Vamos simplificar a integral:
Como as funções são pares, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:
Passo 9
Calculando cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 10
Avaliando as integrais de 0 a 2:
Primeira integral:
Segunda integral:
Passo 11
Substituindo de volta na expressão da área:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é
unidades de área.