Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x^2 = 4y, y = 8/(x^2 + 4)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a área das regiões que estão entre as curvas e . Isso envolve entender gráficos de funções, encontrar pontos de interseção e usar integrais para calcular a área. Vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se encontram, ou seja, os pontos de interseção. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Simplificando a equação:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Vamos resolver a equação quartica . Podemos usar substituição: seja , então a equação fica:

Passo 5

Resolvendo a equação quadrática:
Então,
Como não pode ser negativo, temos , ou seja, , então .

Passo 6

Agora que sabemos que as curvas se intersectam em e , vamos determinar qual curva está acima da outra nesse intervalo. Vamos calcular os valores de para :
Para :
Então, está acima de no intervalo .

Passo 7

A área entre as curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 8

Vamos simplificar a integral:
Como as funções são pares, podemos calcular de 0 a 2 e multiplicar por 2:

Passo 9

Calculando cada integral separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 10

Avaliando as integrais de 0 a 2:
Primeira integral:
Segunda integral:

Passo 11

Substituindo de volta na expressão da área:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.

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