Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos , da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o volume do sólido formado ao girar em torno do eixo dos a região delimitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o método de discos ou anéis (também conhecido como método dos discos/perdas), que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os limites de integração. Vamos encontrar onde as curvas se intersectam. Igualando a :
Como estamos considerando como limite e está do lado negativo, nos concentramos no intervalo de a .
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo dos é:
Onde é a função que representa a distância do eixo de rotação até a curva.
Passo 4
No nosso caso, a função que está mais longe do eixo dos é , e a que está mais perto é . Então, a área entre essas curvas será girada, formando um anel. A fórmula para o volume será:
Aqui, representa o raio externo ao quadrado e representa o raio interno ao quadrado.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
Integrando termo a termo:
Resposta
O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.