Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos y, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = x^2 + 1, x = 0 e x = 2

Passo 1

Beleza! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos uma região em torno do eixo dos . As curvas que definem essa região são , e . Vamos usar o método dos discos para resolver isso, que envolve integrar a área das fatias circulares que formam o sólido.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva é uma parábola que abre para cima, deslocada uma unidade para cima. As linhas e são linhas verticais que cortam a parábola.

Passo 3

Como estamos girando em torno do eixo dos , precisamos expressar em termos de . A partir da equação , isolamos :

Passo 4

Vamos determinar os limites de integração. Quando , . Quando , . Então, vamos integrar de até .

Passo 5

O volume pode ser calculado usando a fórmula:
onde é a função que representa o raio da fatia circular em termos de .

Passo 6

Substituindo na fórmula, temos:
Simplificando o integrando:

Passo 7

Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:

Passo 8

Avaliando a integral de 1 a 5:
Simplificando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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