Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
e
Passo 1
Beleza! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que é gerado quando rotacionamos uma região em torno do eixo dos
. As curvas que definem essa região são
,
e
. Vamos usar o método dos discos para resolver isso, que envolve integrar a área das fatias circulares que formam o sólido.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região que estamos girando. A curva
é uma parábola que abre para cima, deslocada uma unidade para cima. As linhas
e
são linhas verticais que cortam a parábola.
Passo 3
Como estamos girando em torno do eixo dos
, precisamos expressar
em termos de
. A partir da equação
, isolamos
:
Passo 4
Vamos determinar os limites de integração. Quando
,
. Quando
,
. Então, vamos integrar de
até
.
Passo 5
O volume
pode ser calculado usando a fórmula:
onde
é a função que representa o raio da fatia circular em termos de
.
Passo 6
Substituindo
na fórmula, temos:
Simplificando o integrando:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Vamos calcular essa integral:
Passo 8
Avaliando a integral de 1 a 5:
Simplificando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.