Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x^4 - 3 x^2, y = x^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação:
Vamos mover todos os termos para um lado da equação:
Agora, fatoramos:
Isso nos dá as soluções:
Portanto:
Então, as curvas se interceptam nos pontos , e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção. Vamos escolher um valor de em cada intervalo e comparar os valores das funções.
  1. Intervalo : Vamos escolher .
    Aqui, .
  2. Intervalo : Vamos escolher .
    Novamente, .
Portanto, em ambos os intervalos, a função está acima de .

Passo 4

Para calcular a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre elas no intervalo de a . Como as funções são simétricas em relação ao eixo y, podemos calcular a área de a e depois dobrar o resultado.
A fórmula para a área é:
Simplificando dentro da integral:
Então,

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Portanto,

Passo 6

Vamos agora avaliar a integral de a :
Calculando:
Para subtrair, precisamos de denominadores iguais:
Então,
Multiplicando por 2:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

Exercícios relacionados