Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar o conceito de cálculo de áreas entre curvas, que envolve encontrar os pontos de interseção das curvas e integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Isso significa resolver a equação:
Vamos mover todos os termos para um lado da equação:
Agora, fatoramos:
Isso nos dá as soluções:
Portanto:
Então, as curvas se interceptam nos pontos
,
e
.
Passo 3
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra em cada intervalo definido pelos pontos de interseção. Vamos escolher um valor de
em cada intervalo e comparar os valores das funções.
-
Intervalo
: Vamos escolher . Aqui,. -
Intervalo
: Vamos escolher . Novamente,.
Portanto, em ambos os intervalos, a função
está acima de
.
Passo 4
Para calcular a área entre as duas curvas, vamos integrar a diferença entre elas no intervalo de
a
. Como as funções são simétricas em relação ao eixo y, podemos calcular a área de
a
e depois dobrar o resultado.
A fórmula para a área
é:
Simplificando dentro da integral:
Então,
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral:
Calculando cada parte:
Portanto,
Passo 6
Vamos agora avaliar a integral de
a
:
Calculando:
Para subtrair, precisamos de denominadores iguais:
Então,
Multiplicando por 2:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.