Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = e^(-x), y = raiz(x + 1), x = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e . Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Precisaremos identificar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas no intervalo adequado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas e . Para isso, igualamos as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algébricamente, então vamos resolver numericamente ou graficamente. Observando os gráficos dessas funções, percebemos que elas se encontram aproximadamente quando está entre 0 e 1. Fazendo uma tentativa:
Para :
Então, é um ponto de interseção.
Para :
Aqui, está abaixo de .
Portanto, a única interseção relevante no intervalo considerado é .

Passo 3

Agora que sabemos que as curvas se encontram em , vamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de até .
Para entre 0 e 1:
  • decresce de 1 para aproximadamente 0,3679.
  • aumenta de 1 para aproximadamente 1,4142.
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 4

Para encontrar a área entre as curvas e de a , usamos a fórmula da área entre curvas:
Á
Aqui, (a função de cima) e (a função de baixo), com e .

Passo 5

Vamos configurar a integral:
Á
Agora, vamos resolver essa integral em duas partes separadas.

Passo 6

Primeiro, calculamos a integral de :
Usando a regra de potência da integração:
Aplicando isso:

Passo 7

Agora, calculamos a integral de :

Passo 8

Agora, juntamos as duas integrais e avaliamos de a :
Á
Calculando cada parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:

Passo 9

Agora, combinamos as duas partes:
Á
Á
Á

Passo 10

Para obter um valor numérico aproximado:
Sabemos que:
Calculando cada termo:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é aproximadamente unidades de área.

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