Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração, para encontrar essa área. Precisaremos identificar onde essas curvas se encontram e depois integrar a diferença entre elas no intervalo adequado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas
e
. Para isso, igualamos as duas expressões:
Essa equação não é fácil de resolver algébricamente, então vamos resolver numericamente ou graficamente. Observando os gráficos dessas funções, percebemos que elas se encontram aproximadamente quando
está entre 0 e 1. Fazendo uma tentativa:
Para
:
Então,
é um ponto de interseção.
Para
:
Aqui,
está abaixo de
.
Portanto, a única interseção relevante no intervalo considerado é
.
Passo 3
Agora que sabemos que as curvas se encontram em
, vamos determinar qual das funções está acima da outra no intervalo de
até
.
Para
entre 0 e 1:
-
decresce de 1 para aproximadamente 0,3679. -
aumenta de 1 para aproximadamente 1,4142.
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área entre as curvas
e
de
a
, usamos a fórmula da área entre curvas:
Aqui,
(a função de cima) e
(a função de baixo), com
e
.
Passo 5
Vamos configurar a integral:
Agora, vamos resolver essa integral em duas partes separadas.
Passo 6
Primeiro, calculamos a integral de
:
Usando a regra de potência da integração:
Aplicando isso:
Passo 7
Agora, calculamos a integral de
:
Passo 8
Agora, juntamos as duas integrais e avaliamos de
a
:
Calculando cada parte:
Para a primeira parte:
Para a segunda parte:
Passo 9
Agora, combinamos as duas partes:
Passo 10
Para obter um valor numérico aproximado:
Sabemos que:
Calculando cada termo:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas dadas é aproximadamente
unidades de área.