Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
(f) y=4-x^2, y=x^2-14

Passo 1

O enunciado pede a área da região comum às curvas
y = 4 - x^2
e
y = x^2 - 14
Este é um problema de cálculo de área entre duas curvas: precisamos achar os pontos de interseção, identificar qual função está acima da outra no intervalo, e então integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Encontramos os pontos de interseção resolvendo
4 - x^2 = x^2 - 14
Reorganizando,
4 + 14 = x^2 + x^2 Longrightarrow 2x^2 = 18 Longrightarrow x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 3
Logo a região está entre x=-3 e x=3.

Passo 3

Para qualquer xin[-3,3] vale
4 - x^2 ;>=; x^2 - 14,
portanto ,ytop = 4 - x^2 e ,ybot = x^2 - 14.

Passo 4

A área A é dada por
A = integral-3^3 l[(4 - x^2) - (x^2 - 14)r],dx = integral-3^3 l(18 - 2x^2r),dx
Calculando,
integral-3^3 18,dx = 18l[xr]-3^3 = 18cdot6 = 108,
integral-3^3 2x^2,dx = 2l[tfracx^33r]-3^3 = tfrac23(27 - (-27)) = tfrac23cdot54 = 36
Logo
A = 108 - 36 = 72

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 72.

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