Calcule integralgammalang<= F, nrang<= d t sendo dados
F(x, y)=(x, y), gamma(t)=(t, t^2), 0 <= t <= 1, e n a normal unitária com componente y<0.

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial F(x,y)=(x,y), a curva parametrizada
gamma(t)=(t,t^2), 0<= t<=1,
e pede
integralgammalang<= F,nrang<=,dt
onde n é a normal unitária à curva com componente y<0. Para resolver, vamos obter n(t), calcular lang<= F(gamma(t)),n(t)rang<= e integrar de 0 a 1.

Passo 2

Calcule
gamma'(t)=(1,2t), |gamma'(t)|=raiz1+4t^2
O versor tangent T(t) é
T(t)=(1,2t)raiz1+4t^2
Girando T em -90^circ obtemos a normal com segunda componente negativa:
n(t)=(2t,-1)raiz1+4t^2,
pois aí ny(t)=-1/raiz1+4t^2<0.

Passo 3

Ao longo de gamma,
F(gamma(t))=(t,t^2),
então o produto interno é
lang<= F(gamma(t)),n(t)rang<= =tcdot2t + t^2cdot(-1)raiz1+4t^2 =t^2raiz1+4t^2

Passo 4

O integral vira
I=integral0^1t^2raiz1+4t^2,dt
Use a substituição hiperbólica
t=tfrac12sinh w, raiz1+4t^2=cosh w, dt=tfrac12cosh w,dw
Isso dá
I =integrall(tfrac12sinh wr)^2cosh w,tfrac12cosh w,dw =18integralsinh^2w,dw
com limites w(0)=0 e w(1)=arcsinh(2).

Passo 5

Como sinh^2w=(cosh2w-1)/2,
I =18integral0^arcsinh(2)cosh2w-12,dw =116l[tfrac12sinh2w - wr]0^arcsinh(2)
Em w=arcsinh(2) vale sinh2w=2sinh wcosh w=4raiz5 e w=ln(2+raiz5). Logo
I =2raiz5 - ln(2+raiz5)16

Resposta

integralgammalang<= F,nrang<=,dt =2raiz5 - ln(2+raiz5)16

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