Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em
e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
h)
h)
Passo 1
O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor de
centrada em
e depois verificar onde ela realmente representa
. O conteúdo que vamos usar é: definição de série de Taylor, cálculo de derivadas de
, fórmula geral dos coeficientes e o teste da razão para a convergência.
Passo 2
Para começar, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor de uma função
em torno de
:
Precisamos então calcular
para
.
Passo 3
A primeira derivada é
, a segunda
e, em geral, para
:
Logo,
Passo 4
O coeficiente geral da série é
para
. E o termo
é
. Então a série fica:
Passo 5
Agora vamos achar o raio de convergência usando o teste da razão. Seja
Calculamos
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1),2{n+1}}{1/(n),2n},|x-2|
=\frac{|x-2|}{2}.
=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1),2{n+1}}{1/(n),2n},|x-2|
=\frac{|x-2|}{2}.
$$
Para convergir precisamos de , ou seja
.
Para convergir precisamos de
Passo 6
Como
é analítica em
, dentro do intervalo de convergência a série representa exatamente a função. Concluímos que, para
o valor da série coincide com
.
Passo 7
Resposta finalível: a expansão e o domínio onde ela iguala
.