Determine se as séries de Taylor (ou Maclaurin) das funções centrada em a e verifique se a função é igual a sua série de Taylor (ou Maclaurin)
h) h(x)=ln x, a=2

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a série de Taylor de h(x)=ln x centrada em a=2 e depois verificar onde ela realmente representa ln x. O conteúdo que vamos usar é: definição de série de Taylor, cálculo de derivadas de ln x, fórmula geral dos coeficientes e o teste da razão para a convergência.

Passo 2

Para começar, vamos lembrar a fórmula da série de Taylor de uma função f em torno de x=a:
f(x)=sumn=0^infty f^(n)(a)n!(x-a)^n
Precisamos então calcular f^(n)(2) para f(x)=ln x.

Passo 3

A primeira derivada é f'(x)=1/x, a segunda f''(x)=-1/x^2 e, em geral, para n>=1:
f^(n)(x)=(-1)^n-1,(n-1)!,x^-n
Logo,
f^(n)(2)=(-1)^n-1(n-1)!,2^-n

Passo 4

O coeficiente geral da série é
f^(n)(2)n! =(-1)^n-1(n-1)!n!,2^n =(-1)^n-1n,2^n,
para n>=1. E o termo n=0 é f(2)=ln2. Então a série fica:
ln x=ln2+sumn=1^infty(-1)^n-1n,2^n(x-2)^n

Passo 5

Agora vamos achar o raio de convergência usando o teste da razão. Seja
an=(-1)^n-1n,2^n(x-2)^n
Calculamos
$$
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|
=\lim_{n\to\infty}\frac{1/(n+1),2{n+1}}{1/(n),2n},|x-2|
=\frac{|x-2|}{2}.
$$
Para convergir precisamos de L=limntoinfty|an+1an| =limntoinfty1/(n+1),2^n+11/(n),2^n,|x-2| =|x-2|2 , ou seja L<1.

Passo 6

Como ln x é analítica em (0,infty), dentro do intervalo de convergência a série representa exatamente a função. Concluímos que, para
0
o valor da série coincide com ln x.

Passo 7

Resposta finalível: a expansão e o domínio onde ela iguala ln x.

Resposta

ln x=ln2+sumn=1^infty(-1)^n-1n,2^n(x-2)^n, que converge (e iguala ln x) para |x-2|<2 (ou seja, 0).

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