Verifique se a série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=1^+infty(-1)^n cdot 2^nn!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa descobrir se a série sumn=1^+infty(-1)^n cdot 2^nn! é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Isso está dentro do assunto de convergência de séries, e para resolver, vamos precisar entender o que significa cada tipo de convergência e aplicar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre convergência absoluta. Uma série é absolutamente convergente se a série dos valores absolutos dos seus termos também converge. Ou seja, se sumn=1^+infty |an| converge, então a série original sumn=1^+infty an é absolutamente convergente.
No nosso caso, a série dos valores absolutos fica assim:
sumn=1^+infty | (-1)^n cdot 2^nn! | = sumn=1^+infty 2^nn!

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essa nova série sumn=1^+infty 2^nn! converge. Para isso, vamos usar o Teste da Razão, que é muito útil para séries com termos fatoriais e exponenciais.
O Teste da Razão diz que se:
limn to infty | an+1an | = L
e:
  • Se L < 1, a série converge absolutamente.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso na nossa série:
an = 2^nn!
Calculando a razão:
an+1an = 2^n+1/(n+1)!2^n/n! = 2 cdot 2^n cdot n!2^n cdot (n+1)! = 2n+1
Agora, vamos calcular o limite quando n vai para o infinito:
limn to infty 2n+1 = 0

Passo 4

Como o limite L = 0 é menor que 1, de acordo com o Teste da Razão, a série sumn=1^+infty 2^nn! converge absolutamente.

Resposta

A série é absolutamente convergente.

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