Certo tipo de ave migra de uma região para outra durante o inverno. Elas voam durante dias e noites sem parar. Mas para diminuir a fadiga elas não podem voar em direções onde a temperatura sofra uma grande variação, acima de +- 4º C / km. Elas estão passando por uma região onde a temperatura é dada por T(x, y) = 60 - 2x^2 - y^2, sendo T dado em °C, x e y dado em km . Se elas estão em um ponto da região com coordenadas 1,2, diga se:
(b) elas decidirem voar na direção a = 2i - j, será possível continuar nesta direção sem que sofram com a fadiga?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um tipo de ave que migra e precisa voar sem que a temperatura mude muito para não ficar cansada. A temperatura nessa região é dada pela função , onde está em graus Celsius e e são em quilômetros. A pergunta é: se as aves voarem na direção do vetor , elas conseguirão continuar sem sofrer fadiga, ou seja, a variação de temperatura não deve ser maior que .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente derivadas direcionais e gradiente, para determinar como a temperatura muda na direção que as aves querem voar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a variação de temperatura na direção do voo das aves. Isso é calculado usando a derivada direcional da função temperatura na direção do vetor . A derivada direcional nos diz quão rápido a temperatura está mudando se a gente se move naquela direção.

Passo 3

Para calcular a derivada direcional, precisamos primeiro encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que aponta na direção da maior taxa de aumento da função e é dado pelas derivadas parciais em relação a e .
Então, vamos calcular as derivadas parciais:
Portanto, o gradiente de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular o gradiente no ponto onde as aves estão, que é :

Passo 5

Em seguida, precisamos normalizar o vetor direção para obter um vetor unitário :
Primeiro, calculamos o módulo de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 6

Agora, calculamos a derivada direcional usando o gradiente e o vetor unitário:
Fazendo o produto escalar:

Passo 7

Para entender a variação da temperatura, vamos calcular o valor absoluto da derivada direcional:

Resposta

As aves que decidirem voar na direção experimentarão uma variação de temperatura de aproximadamente , que está abaixo do limite de . Portanto, elas poderão continuar nessa direção sem sofrer com a fadiga.

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