Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = cos(x), y = cos^2(x), 0 <= x <= pi

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas e no intervalo de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos permite encontrar áreas entre curvas.

Passo 2

Vamos identificar onde as duas curvas se interceptam dentro do intervalo dado. Isso é importante para determinar os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:

Passo 3

Resolvendo a equação , podemos rearrumar:
Então, temos duas soluções:
Dentro de , em e em .

Passo 4

Agora, vamos determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo determinado pelos pontos de interseção.
  • Entre e :
    • começa em 1 e diminui até 0.
    • também começa em 1, mas diminui mais suavemente até 0.
    Aqui, .
  • Entre e :
    • vai de 0 até -1.
    • vai de 0 até 1.
    Novamente, .

Passo 5

Para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo. Como está sempre acima ou igual a no intervalo considerado, a área é:

Passo 6

Agora, precisamos integrar e . Sabemos que:
Para , usamos a identidade trigonométrica:
Então,

Passo 7

Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
  • Para de 0 a :
  • Para de 0 a :
  • Para de 0 a :

Resposta

Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas é:

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