Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
e
no intervalo de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a integração, que nos permite encontrar áreas entre curvas.
Passo 2
Vamos identificar onde as duas curvas se interceptam dentro do intervalo dado. Isso é importante para determinar os limites de integração. Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas funções:
Passo 3
Resolvendo a equação
, podemos rearrumar:
Então, temos duas soluções:
Dentro de
,
em
e
em
.
Passo 4
Agora, vamos determinar qual função está acima da outra em cada subintervalo determinado pelos pontos de interseção.
-
Entre
e : -
começa em 1 e diminui até 0. -
também começa em 1, mas diminui mais suavemente até 0.
Aqui,. -
-
Entre
e : -
vai de 0 até -1. -
vai de 0 até 1.
Novamente,. -
Passo 5
Para calcular a área entre as curvas, usamos a fórmula da integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo. Como
está sempre acima ou igual a
no intervalo considerado, a área
é:
Passo 6
Agora, precisamos integrar
e
. Sabemos que:
Para
, usamos a identidade trigonométrica:
Então,
Passo 7
Aplicando os limites de integração:
Calculando cada parte:
-
Para
de 0 a : -
Para
de 0 a : -
Para
de 0 a :
Resposta
Portanto, a área das regiões limitadas pelas curvas é: