Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x - raiz(4y^2 - y^4) = 0 e o eixo dos y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e pelo eixo dos . Isso significa que temos que encontrar a área entre a curva e o eixo dos (que é a linha ). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrando em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Isso nos dá a equação . Agora, vamos reorganizar para facilitar a identificação dos limites de integração:

Passo 3

Vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo dos . No eixo dos , . Substituindo na equação original:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Fatorando:
Então, ou . Portanto, os limites de são de a .

Passo 4

Como a função é simétrica em relação ao eixo dos , podemos calcular a área de a e depois dobrar o resultado. A fórmula para a área será:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição . Então, ou . Alterando os limites de integração:
  • Quando ,
  • Quando ,
Substituindo na integral:

Passo 7

Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de a :
Calculando :
Então:

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.

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