Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas: e o eixo dos
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e pelo eixo dos . Isso significa que temos que encontrar a área entre a curva e o eixo dos (que é a linha ). Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo integral, especificamente integrando em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Para simplificar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
Isso nos dá a equação . Agora, vamos reorganizar para facilitar a identificação dos limites de integração:
Passo 3
Vamos encontrar os pontos onde a curva intercepta o eixo dos . No eixo dos , . Substituindo na equação original:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Fatorando:
Então, ou . Portanto, os limites de são de a .
Passo 4
Como a função é simétrica em relação ao eixo dos , podemos calcular a área de a e depois dobrar o resultado. A fórmula para a área será:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a substituição . Então, ou . Alterando os limites de integração:
Quando ,
Quando ,
Substituindo na integral:
Passo 7
Agora, calculamos a integral:
Aplicando os limites de a :
Calculando :
Então:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é unidades de área.