Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
. A matéria aqui envolve integrais, que usamos para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as curvas
e
se interceptam. Para isso, igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver essa equação, podemos tirar o logaritmo natural dos dois lados, já que
:
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Então, as curvas se intersectam quando
.
Passo 5
Agora que sabemos que as curvas se cruzam em
, precisamos desenhar mentalmente ou no papel para entender qual curva está por cima no intervalo de
a
.
Para
:
Então,
está acima de
nesse intervalo.
Passo 6
A área entre as curvas de
a
é dada pela integral da diferença das funções acima menos as funções abaixo:
No nosso caso,
e
:
Passo 7
Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Calculando para
:
Calculando para
:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas é:
Simplificando:
Portanto, a área é aproximadamente 0,859 unidades quadradas.