Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y=e^x, y=e^(2 x-1), x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e . A matéria aqui envolve integrais, que usamos para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se encontram e então integrar a diferença entre elas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar os pontos onde as curvas e se interceptam. Para isso, igualamos as duas funções:

Passo 3

Para resolver essa equação, podemos tirar o logaritmo natural dos dois lados, já que :

Passo 4

Agora, vamos resolver para :
Então, as curvas se intersectam quando .

Passo 5

Agora que sabemos que as curvas se cruzam em , precisamos desenhar mentalmente ou no papel para entender qual curva está por cima no intervalo de a .
Para :
Então, está acima de nesse intervalo.

Passo 6

A área entre as curvas de a é dada pela integral da diferença das funções acima menos as funções abaixo:
Á
No nosso caso, e :
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral de cada termo separadamente:

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Á
Calculando para :
Calculando para :

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas é:
Á
Simplificando:
Á
Portanto, a área é aproximadamente 0,859 unidades quadradas.

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