Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre duas curvas:
e
. Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se interceptam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:
Passo 3
Resolvendo a equação:
Então, as curvas se interceptam nos pontos onde
e
.
Passo 4
Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está acima da outra entre
e
.
Para um valor de
nesse intervalo, por exemplo
:
Então,
está à direita de
. Isso significa que para integrar a área, vamos calcular a diferença entre
e
.
Passo 5
A fórmula para a área entre duas curvas
e
de
a
é:
No nosso caso,
e
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 6
Vamos montar a integral:
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de
a
:
Calculando para
:
Calculando para
:
Passo 9
Agora, subtraímos os resultados:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é
unidades de área.