Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x = 1 - y^2, x = y^2 - 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a área das regiões que ficam entre duas curvas: e . Pra isso, vamos usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre integração entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se interceptam e depois integrar a diferença entre elas para achar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram. Para isso, igualamos as duas equações:

Passo 3

Resolvendo a equação:
Então, as curvas se interceptam nos pontos onde e .

Passo 4

Agora que sabemos os pontos de interseção, vamos visualizar as curvas para entender qual delas está acima da outra entre e .
Para um valor de nesse intervalo, por exemplo :
Então, está à direita de . Isso significa que para integrar a área, vamos calcular a diferença entre e .

Passo 5

A fórmula para a área entre duas curvas e de a é:
Á
No nosso caso, e , e os limites de integração são de a .

Passo 6

Vamos montar a integral:
Á
Simplificando dentro da integral:
Então, a integral fica:
Á

Passo 7

Vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar para áreas definidas.

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de a :
Á
Calculando para :
Calculando para :

Passo 9

Agora, subtraímos os resultados:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é unidades de área.

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