Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
,
e
. A gente vai precisar usar integração para achar essa área, então vamos dar uma explorada nas interseções dessas curvas e depois integrar a função que está por cima menos a que está por baixo em cada intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, resolver onde
e onde cada uma delas iguala a
.
Para
:
Dividindo ambos os lados por
:
Isso acontece quando
.
Agora, para encontrar onde
:
E onde
:
Então, temos três pontos importantes de interseção:
,
e
.
Passo 3
Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos dividir o intervalo em duas partes para calcular a área em cada uma.
- De
até : Aqui, está acima de . - De
até : Aqui, está acima de até , mas também temos a linha que limita essa região.
Passo 4
Vamos calcular as duas áreas separadamente e depois somar.
Primeira área (de
a
):
Para integrar
, usamos:
E para
:
Portanto:
Sabemos que
e
, então:
Segunda área (de
a
):
Integrando:
Simplificando:
Resposta
Somando as duas áreas:
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas dadas é aproximadamente 0,566 unidades quadradas.