Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = e^x, y = 10^x, y = e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas , e . A gente vai precisar usar integração para achar essa área, então vamos dar uma explorada nas interseções dessas curvas e depois integrar a função que está por cima menos a que está por baixo em cada intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, ou seja, resolver onde e onde cada uma delas iguala a .
Para :
Dividindo ambos os lados por :
Isso acontece quando .
Agora, para encontrar onde :
E onde :
Então, temos três pontos importantes de interseção: , e .

Passo 3

Agora que sabemos onde as curvas se cruzam, vamos dividir o intervalo em duas partes para calcular a área em cada uma.
  1. De até : Aqui, está acima de .
  2. De até : Aqui, está acima de até , mas também temos a linha que limita essa região.

Passo 4

Vamos calcular as duas áreas separadamente e depois somar.
Primeira área (de a ):
Para integrar , usamos:
E para :
Portanto:
Sabemos que e , então:
Segunda área (de a ):
Integrando:
Simplificando:

Resposta

Somando as duas áreas:
Então, a área das regiões limitadas pelas curvas dadas é aproximadamente 0,566 unidades quadradas.

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