Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y = x(x - 3), y = x(3 - x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos encontrar onde as curvas se cruzam e depois calcular a integral da diferença delas nesse intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar as equações das curvas para facilitar nossos cálculos:
Agora temos duas funções quadráticas: e .

Passo 3

Para encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, vamos igualar e :
Somando e em ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são e . Esses são os pontos de interseção: e .

Passo 4

Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de a . Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima de nesse intervalo.

Passo 5

Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre e de a :
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral:
Á
Integrando termo a termo:
Portanto:
Á

Passo 7

Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 3:
Para :
Para :
Então:
Á

Resposta

A área das regiões limitadas pelas curvas e é 9 unidades de área.

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