Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área das regiões limitadas pelas curvas
e
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Precisamos encontrar onde as curvas se cruzam e depois calcular a integral da diferença delas nesse intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar as equações das curvas para facilitar nossos cálculos:
Agora temos duas funções quadráticas:
e
.
Passo 3
Para encontrar os pontos onde as curvas se cruzam, vamos igualar
e
:
Somando
e
em ambos os lados:
Fatorando:
Então, as soluções são
e
. Esses são os pontos de interseção:
e
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar qual das duas funções está acima da outra no intervalo de
a
. Vamos escolher um valor dentro desse intervalo, por exemplo,
:
Como
, a função
está acima de
nesse intervalo.
Passo 5
Para encontrar a área entre as curvas, vamos integrar a diferença entre
e
de
a
:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Integrando termo a termo:
Portanto:
Passo 7
Vamos avaliar a integral nos limites de 0 a 3:
Para :
Para
Para
:
Então:
Resposta
A área das regiões limitadas pelas curvas
e
é 9 unidades de área.