Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
e os eixos coordenados
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área das regiões que estão delimitadas pela curva
e os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para arrumar a equação e o cálculo integral para encontrar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar
sozinho na equação pra facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, a gente tem
em função de
, o que facilita pra calcular a área.
Passo 3
Agora, vamos descobrir onde essa curva cruza os eixos coordenados, porque esses pontos vão definir os limites da nossa área.
- Interseção com o eixo
: A gente coloca na equação.
Então, a curva passa pelo ponto
.
- Interseção com o eixo
: A gente coloca .
O que faz o numerador ser zero:
Então, a curva passa pelo ponto
.
Passo 4
Com esses pontos, sabemos que a área está entre
e
. Esses serão os limites de integração para calcular a área.
Passo 5
Vamos montar a integral que vai representar essa área. A fórmula para a área
é:
Passo 6
Hora de resolver a integral!
Primeiro, vamos puxar o 4 pra fora:
Agora, a gente quebra a fração para facilitar:
Vamos resolver cada parte:
-
Primeira integral:Sabemos que:Aqui,
, então: -
Segunda integral:Para:Fazemos a substituição
, então . Assim: Avaliada de 0 a 2:
Agora, juntando tudo:
Resposta
A área das regiões delimitadas pela curva
e os eixos coordenados é
unidades quadradas.