Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
y(x^2 + 4) = 4(2 - x) e os eixos coordenados

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a área das regiões que estão delimitadas pela curva e os eixos coordenados. Para resolver isso, vamos usar um pouco de álgebra para arrumar a equação e o cálculo integral para encontrar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar sozinho na equação pra facilitar nosso trabalho. A equação dada é:
Dividindo ambos os lados por , temos:
Agora, a gente tem em função de , o que facilita pra calcular a área.

Passo 3

Agora, vamos descobrir onde essa curva cruza os eixos coordenados, porque esses pontos vão definir os limites da nossa área.
  • Interseção com o eixo : A gente coloca na equação.
Então, a curva passa pelo ponto .
  • Interseção com o eixo : A gente coloca .
O que faz o numerador ser zero:
Então, a curva passa pelo ponto .

Passo 4

Com esses pontos, sabemos que a área está entre e . Esses serão os limites de integração para calcular a área.

Passo 5

Vamos montar a integral que vai representar essa área. A fórmula para a área é:

Passo 6

Hora de resolver a integral!
Primeiro, vamos puxar o 4 pra fora:
Agora, a gente quebra a fração para facilitar:
Vamos resolver cada parte:
  1. Primeira integral:
    Sabemos que:
    Aqui, , então:
  2. Segunda integral:
    Para:
    Fazemos a substituição , então . Assim:
    Avaliada de 0 a 2:
Agora, juntando tudo:

Resposta

A área das regiões delimitadas pela curva e os eixos coordenados é unidades quadradas.

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