Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
y = x + 1, x = 0, x = 2, y = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a região limitada pelas curvas , , e em torno do eixo dos . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são os limites do nosso gráfico. A curva é uma reta que intercepta o eixo em e sobe com inclinação 1. As linhas e são verticais, e é o eixo . Então, a região que vamos girar está entre e , acima do eixo e abaixo da reta .

Passo 3

Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo , cada “fatia” da região vira um disco com uma determinada área. A área do disco é vezes o raio ao quadrado. Nesse caso, o raio de cada disco é a função .

Passo 4

A fórmula para calcular o volume usando o método dos discos é:
Aqui, , e os limites de integração são de a .

Passo 5

Vamos então substituir na fórmula:
Agora, precisamos expandir e integrar :
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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