Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o volume de um sólido de revolução. A gente vai girar a região limitada pelas curvas
,
,
e
em torno do eixo dos
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são os limites do nosso gráfico. A curva
é uma reta que intercepta o eixo
em
e sobe com inclinação 1. As linhas
e
são verticais, e
é o eixo
. Então, a região que vamos girar está entre
e
, acima do eixo
e abaixo da reta
.
Passo 3
Agora, vamos lembrar como funciona o método dos discos. Quando giramos uma região em torno do eixo
, cada “fatia” da região vira um disco com uma determinada área. A área do disco é
vezes o raio ao quadrado. Nesse caso, o raio de cada disco é a função
.
Passo 4
A fórmula para calcular o volume usando o método dos discos é:
Aqui,
, e os limites de integração são de
a
.
Passo 5
Vamos então substituir na fórmula:
Agora, precisamos expandir e integrar
:
Integrando termo a termo:
Somando tudo:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.