Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
x*y=1, x=2, y=3

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos determinar o volume de um sólido de revolução que é gerado ao girar, em torno do eixo dos , a região limitada pelas curvas , e . Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas da geometria para calcular volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar as curvas que limitam a região:
  1. Curva : Podemos reescrever essa equação como , que é uma hipérbole.
  2. Linha vertical : É uma linha reta vertical que corta o eixo dos no ponto .
  3. Linha horizontal : É uma linha reta horizontal que corta o eixo dos no ponto .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.

Passo 3

Encontrando os pontos de interseção:
  • Interseção entre e :
  • Interseção entre e :
    Isso ocorre no ponto .
Portanto, os limites para serão de a .

Passo 4

Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo dos , usaremos o método dos discos. A fórmula geral para o volume é:
No nosso caso, precisamos considerar a diferença entre as funções acima e abaixo do eixo dos dentro dos limites de .

Passo 5

Identificando as funções superior e inferior:
  • Função superior:
  • Função inferior:
Portanto, a área de cada disco será dada pela diferença das áreas dos círculos formados por essas funções:
Á

Passo 6

Substituindo na fórmula do volume:

Passo 7

Agora, vamos resolver a integral:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Avaliando a integral definida de a :
Simplificando:

Passo 9

Finalmente, calculando o valor numérico:
ú

Resposta

O volume do sólido de revolução é aproximadamente unidades cúbicas.

Exercícios relacionados