Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício pede. Precisamos determinar o volume de um sólido de revolução que é gerado ao girar, em torno do eixo dos
, a região limitada pelas curvas
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o método dos discos ou das cascas cilíndricas, que são técnicas da geometria para calcular volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar as curvas que limitam a região:
- Curva
: Podemos reescrever essa equação como , que é uma hipérbole. - Linha vertical
: É uma linha reta vertical que corta o eixo dos no ponto . - Linha horizontal
: É uma linha reta horizontal que corta o eixo dos no ponto .
Vamos encontrar os pontos de interseção dessas curvas para determinar os limites de integração.
Passo 3
Encontrando os pontos de interseção:
-
Interseção entre
e : -
Interseção entre
e : Isso ocorre no ponto.
Portanto, os limites para
serão de
a
.
Passo 4
Agora, vamos configurar a integral para calcular o volume. Como estamos girando em torno do eixo dos
, usaremos o método dos discos. A fórmula geral para o volume
é:
No nosso caso, precisamos considerar a diferença entre as funções acima e abaixo do eixo dos
dentro dos limites de
.
Passo 5
Identificando as funções superior e inferior:
- Função superior:
- Função inferior:
Portanto, a área de cada disco será dada pela diferença das áreas dos círculos formados por essas funções:
Passo 6
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 7
Agora, vamos resolver a integral:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Avaliando a integral definida de
a
:
Simplificando:
Passo 9
Finalmente, calculando o valor numérico:
Resposta
O volume do sólido de revolução é aproximadamente
unidades cúbicas.