Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
x = y^2, y = x + 3, y = -2, y = 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas , , e . Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam e então integrar para encontrar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como são essas curvas:
  • é uma parábola que abre para a direita.
  • é uma reta com inclinação positiva.
  • e são retas horizontais.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região que queremos calcular.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. Vamos ver onde e se encontram.
Substituindo em :
Expandindo:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática, vemos que o discriminante é negativo:
Como o discriminante é negativo, não há interseção real entre e .

Passo 4

Isso significa que as curvas e não se cruzam. Portanto, a região delimitada será entre e . Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções que definem as fronteiras direita e esquerda da região para esses valores de .

Passo 5

Identificamos que para cada valor de entre -2 e 3:
  • A fronteira direita é dada pela reta , ou seja, .
  • A fronteira esquerda é dada pela parábola .
Então, a largura da região para cada é:

Passo 6

Agora, para encontrar a área total, integramos essa largura em relação a de -2 a 3:
Á
Simplificando a expressão dentro da integral:
Á

Passo 7

Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de a :
Calculando cada parte:
Para :
Para :
Então, a área é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Á

Resposta

A área das regiões delimitadas pelas curvas é unidades de área.

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