Calcule a área das regiões limitadas pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a área das regiões delimitadas pelas curvas
,
,
e
. Isso envolve conhecimentos de geometria analítica e cálculo, especificamente integração para encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar onde essas curvas se intersectam e então integrar para encontrar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como são essas curvas:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é uma reta com inclinação positiva. -
e são retas horizontais.
Vamos desenhar essas curvas para visualizar melhor a região que queremos calcular.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. Vamos ver onde
e
se encontram.
Substituindo
em
:
Expandindo:
Rearranjando:
Resolvendo a equação quadrática, vemos que o discriminante é negativo:
Como o discriminante é negativo, não há interseção real entre
e
.
Passo 4
Isso significa que as curvas
e
não se cruzam. Portanto, a região delimitada será entre
e
. Para calcular a área, vamos integrar a diferença entre as funções que definem as fronteiras direita e esquerda da região para esses valores de
.
Passo 5
Identificamos que para cada valor de
entre -2 e 3:
- A fronteira direita é dada pela reta
, ou seja, . - A fronteira esquerda é dada pela parábola
.
Então, a largura da região para cada
é:
Passo 6
Agora, para encontrar a área total, integramos essa largura em relação a
de -2 a 3:
Simplificando a expressão dentro da integral:
Passo 7
Vamos calcular a integral:
Agora, avaliamos essa expressão de
a
:
Calculando cada parte:
Para :
Para
Para
:
Então, a área é:
Como a área não pode ser negativa, tomamos o valor absoluto:
Resposta
A área das regiões delimitadas pelas curvas é
unidades de área.