Calcule a área sob o gráfico de y = f(x) entre x = a e x = b, esboçando cada região, se:
f(x) = 1 - x^2, x = -1, x = 1

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a área sob o gráfico de entre e , onde . Vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar essa área de forma precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área sob o gráfico de uma função. Imagine que o gráfico de forma uma curva e queremos saber o espaço entre essa curva e o eixo no intervalo de a . Para isso, usamos uma integral definida.

Passo 3

A integral definida que representa essa área é dada por:
Á
Aqui, estamos integrando a função de até .

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo da função separadamente:
Então, a antiderivada de é:
Como estamos calculando uma integral definida, o constante não será necessário.

Passo 5

Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de e e calculamos a diferença:

Passo 6

Vamos simplificar os cálculos:
Para :
Para :

Passo 7

Agora, subtraímos os valores obtidos:

Resposta

A área sob o gráfico de entre e é unidades quadradas.

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