Calcule a área sob o gráfico de
entre
e
, esboçando cada região, se:
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a área sob o gráfico de
entre
e
, onde
. Vamos usar o conceito de integração, que nos permite encontrar essa área de forma precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular a área sob o gráfico de uma função. Imagine que o gráfico de
forma uma curva e queremos saber o espaço entre essa curva e o eixo
no intervalo de
a
. Para isso, usamos uma integral definida.
Passo 3
A integral definida que representa essa área é dada por:
Aqui, estamos integrando a função
de
até
.
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo da função separadamente:
Então, a antiderivada de
é:
Como estamos calculando uma integral definida, o constante
não será necessário.
Passo 5
Agora, avaliamos a antiderivada nos limites de
e
e calculamos a diferença:
Passo 6
Vamos simplificar os cálculos:
Para :
Para
Para
:
Passo 7
Agora, subtraímos os valores obtidos:
Resposta
A área sob o gráfico de
entre
e
é
unidades quadradas.