Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
, no primeiro quadrante
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa determinar o volume de um sólido que é formado ao girar uma região limitada pela curva
no primeiro quadrante em torno do eixo dos
. Isso está ligado ao cálculo de volumes de sólidos de revolução, que usa um pouco de cálculo integral. Vamos precisar entender um pouco sobre métodos de integração para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região que vamos girar. A curva
é uma parábola voltada para baixo, e no primeiro quadrante ela vai de
até onde a parábola cruza o eixo dos
. Para encontrar esse ponto, resolvemos
:
No primeiro quadrante, consideramos
. Então, a região está entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos escolher o método adequado para calcular o volume. Como vamos girar em torno do eixo dos
e a função está definida em termos de
, o método dos cilindros (ou método das cascas) é o mais indicado. Esse método integra ao longo do eixo
.
Passo 4
O método das cascas usa a fórmula:
Aqui,
é a função que define a curva,
é a distância de cada cilindro ao eixo de rotação, e
e
são os limites de integração. No nosso caso,
,
e
.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque estamos calculando uma integral definida.
Passo 7
Aplicando os limites de integração de
a
:
Passo 8
Multiplicando pelo
que está fora da integral:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.