Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos
, da região limitada pelas seguintes curvas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o volume de um sólido de revolução formado ao girar uma região em torno do eixo dos
. As curvas que delimitam essa região são
e
. Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Isso significa resolver o sistema:
Podemos expressar
em termos de
a partir da segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:
Simplificando:
Então,
ou
. Portanto, os limites de integração são de 0 a 1.
Passo 3
Agora, vamos entender quais funções estão acima da outra no intervalo de integração. Vamos testar um valor entre 0 e 1, por exemplo,
:
Isso mostra que
está acima de
no intervalo de 0 a 1.
Passo 4
Com isso, podemos usar a fórmula do volume por discos:
Onde:
-
(a função de cima) -
(a função de baixo) -
-
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, o volume fica:
Passo 7
Avaliar nas extremidades:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o volume do sólido de revolução é: