Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x, da região limitada pelas seguintes curvas:
x^2 = y^3 e x^3 = y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para a gente encontrar o volume de um sólido de revolução formado ao girar uma região em torno do eixo dos . As curvas que delimitam essa região são e . Para isso, vamos usar o método dos discos, que envolve integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para saber os limites de integração. Isso significa resolver o sistema:
Podemos expressar em termos de a partir da segunda equação:
Substituindo isso na primeira equação:
Simplificando:
Então, ou . Portanto, os limites de integração são de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos entender quais funções estão acima da outra no intervalo de integração. Vamos testar um valor entre 0 e 1, por exemplo, :
Isso mostra que está acima de no intervalo de 0 a 1.

Passo 4

Com isso, podemos usar a fórmula do volume por discos:
Onde:
  • (a função de cima)
  • (a função de baixo)

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula:

Passo 6

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Então, o volume fica:

Passo 7

Avaliar nas extremidades:
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o volume do sólido de revolução é:

Exercícios relacionados